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大家热议的美国数学高考题 美国高考数学题


大家热议的美国数学高考题 美国高考数学题

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美国高考数学题(美国数学高考热议题)
之前我给今日头条发了以下美国数学高考题，没想到得到了25万的演示和858条留言 。前几天我在关于张东升在《隐藏的角落》中画错了心线的文章中指出了这个问题，结果也引起了很多人的讨论 。现在，该给这个问题一个交代了 。
问题是:
小圆的半径是大圆的1/3 。大圈是固定的 。小圆绕着大圆滚，又回到原来的位置 。小圆圈自己转了几圈？
这个问题的正确答案是4圈 。为什么30万人中只有3人答对信息资源网？原因是选项中没有出现正确答案 。提问者真的把大家都耍了 。这个问题其实也叫“硬币悖论”，即结果与人的直觉相反 。
对于这个问题，很多人认为答案应该是三倍，因为大圆的周长是小圆的三倍 。4圈的正确答案有各种解释 。这里我将一一解释一些主要的答案 。
1.旋转和公转理论
小圆转三圈，绕大圆转一圈，一共转四圈 。
这个答案是最有欺骗性的一个 。听起来很有道理，四圈的答案也是正确的，也可以依附于地球自转公转的理论 。嗯，大家都是这么说的，我就假装懂了 。估计回答四轮的人有一半以上是这么想的，但是根本没有深入思考 。
真的是这样吗？我们来看看这个问题问的是什么 。
问题是小圆自己转了多少圈，也就是小圆绕其中心转了多少圈 。这就是旋转的概念 。如果你说你旋转三次，答案应该是三次 。公转是一个小圆绕着一个大圆的圆心转，与自转无关 。其实小圆即使不旋转，也可以绕着大圆的圆心旋转 。在这个问题中，小圆确实绕着大圆转了一圈，但这与小圆转了几次无关 。因为一个小圆转了四圈 。也就是说，小圆转了四圈，做了一圈 。
2.中心轨迹法
小圆的圆心的轨迹也是圆，半径为4r，所以它的长度为8r 。圆每转一圈，圆心过2r，所以转4圈 。
如果一个小圆在平地上滚动，真的是每2r绕圆心转一圈 。

但在绕大圆滚动的问题中，首先要证明圆心走过了2r的长度，小圆绕圆心转了360° 。也就是如下图所示，小圆的圆心走了2r的距离，刚好是小圆圆心所在圆的周长的1/4 。为什么这个时候小圆只是绕着自己的中心转？没有证明过程，直接得出平地的结论是不严谨的 。

还有人说小圆上各点的长度等于小圆的心的长度，所以是这样的 。这个结论是错误的 。我们以后再谈 。
3.粒子法
质点法类似于中心轨迹法 。也就是把小圆看成一个质点，这样小圆的轨迹就是一个半径为4r的圆 。粒子总共走了8r，每2r长度绕圆心转一圈，所以转了四圈 。这种方法首先需要明白粒子是什么，其次和中心轨迹法一样，也需要证明前面的小结论 。
4.相对运动法
如果小圆和大圆分别固定圆心，像齿轮一样同时转动，那么小圆顺时针转3圈，大圆逆时针转1圈，小圆相对大圆转4圈 。现在大圈是固定的，小圈需要相对大圈转四圈 。这种解释是可能的，但是信息资源的相对运动对于大多数人(尤其是儿童)来说还是太抽象了 。
那么，对于信息资源网络的观点，有没有比较直截了当的解释？下面给出的方法，纯粹是从数学几何关系上解释的，学过角和周长的高年级小学生应该能看懂 。
5.纯几何方法
这个问题中有一点是肯定的，那就是小圆的周长是大圆的1/3 。小圆在大圆上滚过2r的长度，即大圆周长的1/3，滚到下图所示的位置 。这时小圆绕其中心转了360°+120° = 480° 。小圆滚6r对大圆的长度刚好滚回原点，此时转4803=1440 。140360 = 4圈 。
6.心脏线的长度
刚才说了，第二种方法，有人认为小圆上任意一点的长度与圆心的长度相同 。真的是这样吗？
我们来看一个类似但更简单的心线，也就是两个圆的半径相同的时候 。在之前的文章《藏在隐蔽处的错误心形线》中，给出了心形线的极坐标方程表示 。

此时，从极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以确定心线的长度为16a(具体计算过程如下)，而小圆的心的轨迹是一个半径为2a的圆，所以圆的长度为4a 。也就是说，在这个滚动问题中，圆心的长度不同于圆上任意一点的长度 。
如果你有幼儿园到初中的适龄儿童想加入数学讨论组，可以留言告诉年级 。
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