求N以内所有质数的算法及优化 _算法

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问题：输入一个正整数 N（N > 2），求小于 N 的全部质数。
质数，就是除了1和它本身外不存在其他因子的数。
1、基本循环法循环法：利用质数的定义，循环判断该数除以比它小的每个自然数（大于1），如果有能被它整除的，则它就不是质数。
示例代码如下：

#include <IOStream>using namespace std;int main(){int N = 50;int sumStep = 0; // 统计迭代次数cout << 2 << endl; // 2 是质数for (int i = 3; i < N; ++i) {bool flag = true; // 假设是质数for (int j = 2; j < i; ++j) {sumStep = sumStep + 1;if (!(i % j)) { // 找到能被整除的flag = false;break;}}if (flag) {cout << i << endl;}}cout << "sumStep: " << sumStep << endl;return 0;}

运行结果如下：

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2、算法优化可以看到，当 N = 50 时，上述算法总共进行了349次循环。
在上述基本算法的基础上，可以对循环进行一些优化，减少循环次数：

对于第一层循环：除了2之外，偶数肯定不是质数，因此可以将第一层循环步数设为2；
对于第二层循环：在第一层循环的基础上，因为质数首先肯定是奇数，所以只需用奇数整除即可，即第二层循环步数也可以设为2；
对于第二层循环：判断一个数 i 是不是质数，只需用 3 到 sqrt(i) 之间的奇数判断即可。因为 i 的因数除了 sqrt(i)，其他都是成对存在的，比如36的因数（2、3、4、6、9、12、18），36 = 2 * 18；36 = 3 * 12；36 = 4 * 9；36 = 6 * 6；

代码优化如下：

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;int main(){int N = 50;int sumStep = 0; // 统计迭代次数cout << 2 << endl; // 2 是质数for (int i = 3; i < N; i += 2) {bool flag = true;// 假设是质数int jStop = sqrt(i); // 终止条件for (int j = 3; j <= jStop; j += 2) {sumStep = sumStep + 1;if (!(i % j)) { // 找到能被整除的flag = false;break;}}if (flag) {cout << i << endl;}}cout << "sumStep: " << sumStep << endl;return 0;}

运行结果如下：