小机灵鬼|阶乘也很有趣：从阶乘到伽玛函数到任意数的阶乘( 二 )
阶乘的延拓可以将点(n, n!)即(0, 0!), (1,1!), (2,2!), (3,3!),...在平面坐标系上表示出来 。
n!, n=0..4
n!, n=0..6
n!, n=0..10
我们能不能找到一条数学曲线 ， 能够穿越上述所有点(n,n!)呢？找到这样一条曲线的过程就是数学上的解析延拓 ， 从整数域解析延拓到实数域 。
伽玛函数人类恰恰找到了这样一个函数 ， 即伽玛函数（Gamma Function） 。 伽玛函数的定义如下：
伽玛函数是一个用定积分公式定义的函数 ， 所以求伽玛函数变成了求定积分 。 不难求得：
进而
伽玛函数与实数域阶层的关系
这些结论我就不做证明了 ， 一方面这些知识可以很便捷地索到 ， 另一也是更重要的方面是 ， 毕竟我的目标不是吓唬大家和显摆自己的学问 ， 而是希望尽可能充分地向大家分享、呈现数学的奥妙、美丽和魅力 。
从该等式可以看出 ， 阶乘不就是伽玛函数从实数域降维到整数域的降维函数吗？反之 ， 伽玛函数不正是阶乘序列在从整数域向实数域的延拓吗？
问题：伽玛函数是阶乘运算的唯一解析拓展函数吗？
答案是否定的 ， 因为满足这样的拓展函数有无数个 。 如如下函数在横坐标为整数时的值也等于对应的阶乘值：
实数域的阶乘函数因为
也就是说
用如下方式来表示这个阶乘函数：
该阶乘函数有如下递推性质（从小到大 ， 算正数的阶乘时用到）：
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