纪念陈省身先生华人学习的榜样( 三 )

高斯一博内公式是最重要最基础的公式之一，不但在微分几何，而且在整个数学领域也是如此。在我1943年来普林斯顿之前，我就已经考虑过这一点，因此从某种意义上讲，我在普林斯顿的发展是十分自然的。到普林斯顿后，我见到韦伊，他和阿仑道弗已经发表了他们的论文。韦伊和我很快成了朋友，所以很自然地，我们讨论了高斯-博内公式，之后我得到了我的证明。我想这是我最好的工作之一，因为它解决了一个重要而基本的经典问题，并且思想十分新颖。为了让你的思想付诸实践，你需要有技术上的天才。这不是轻而易举的，也不是只要你有想法就可以实行的。这是微妙的。所以我认为这是件非常好的工作。

杰克逊: 你最重要的工作之一是对示性类的发展。

陈省身: 示性类一一它们不是给人以那么深刻的印象: 示性类是非常重要的，因为这些是纤维空间基本的不变量。纤维空间是非常重要的，所以示性类产生了。不过这没伤我多少脑筋。它们经常出现, 包括一阶陈示性类c1: 因为在电磁学中你需要复线丛的观念。而复线丛引出c1 ，这在狄拉克关于量子电动力学的论文中就有。当然狄拉克并没有称之为c1 。当c1不为零时，它是与所谓的磁单极有关。示性类的重要性是明显的，因为它们自然而然地出现在一些具体而基础的问题中。

陈省身诗 | 图源：林节玄

杰克逊: 1940年代当您首先发展陈类理论时，您是否意识到庞特里亚金的工作以及这样的事实：一个实纤维丛的庞特里亚金类可以从其复化的陈类重新得到？

陈省身: 我的主要想法是，人们应该在复数情形下做拓朴和整体几体的研究。复数情形有更多的结构，而且在许多方面要比实的情形更简单。因此我引进复情形下的陈类，而实的情形要复杂得多。我读过庞特里亚金的论文，但我没有看到他的详细论文，不过我想他在英语版的《科学纪事》上发表了摘要。我是从希哲布鲁赫处得知陈类和庞特里亚金类之间的关系的。陈类可以用局部不变量曲率表达。我主要对局部性质与整体性质之间的关系感兴趣。当你研究空问（间）的时候，你所能测量的则是局部性质。重要的是，一些局部性质与整体性质是相关联的。高斯-博内公式的简单情况是，三角形三个内角的总和是180 度。它出现在非常简单的事实中。

杰克逊: 您被视为整体微分几何的主要专家之一，而且您喜欢用嘉当的微分形式和联络等工具。而德国学派，如作为代表的克林根伯格，却以不同的方法研究整体几何：他们不喜欢用微分形式，他们用测地线和比较定理等手段。你是怎样看待这种差异的呢

陈省身: 没有什么根本的差异，这是传统的发展。例如，为了研究流形上的几何, 标准的技巧是里奇演算。基本的问题是形式问题，这是由利普希茨和克里斯托斐耳尤其是后者解决的。而克里斯托斐耳的想法又追溯到里奇，里奇写了关于张量的里奇运算的著作。所以所有的人，包括外尔，都是通过里奇演算来学习数学的。张量分析起着那么重要的作用, 于是大家都学，大家在微分几何方面都是从张量分析开始的。不管怎样，在某些方面，微分形式应该引入。我通常喜欢说，向量场就象一个男人，而微分形式就象一个女人，社会必须由两性构成。如果单有男人或单有女人，社会是不完整的。

1943 年至1945 年，陈省身在普林斯顿研究所访问两年，之后返回中国。在中国也呆了两年，他帮助建立了中央研究院数学研究所。 1949 年他成了芝加哥大学的一名数学教授。 1960 年又至加州大学伯克利分校任教。 1979 年先生退休后依然积极活动，尤其是帮助创办了伯克利的美国国家数学研究所。从1981 年— 1984 年先生出任首任所长。陈省身已培养了41位博士。这个数字还不包括他在频繁的访华中已有联系来往的许多学生。由于“文化大革命” ，中国失去了许多天才的数学家，数学研究的传统也几乎丧失殆尽，陈省身做了许多事情以恢复这一传统。特别是1985 年先生对中国天津南开数学研究所的创办起到了重要作用。