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有限元法和泛函有啥关系，Rayleigh-Ritz法和Galerkin法是啥

为方便解释, 下作逐条说明.
1) 形式上说, 有限元分析(Finite Element Analysis)属于一类泛函分析方法. 有限元最早属于应用力学(Applied Mechanics)的研究范畴.
2) 后来由于大型计算机和矩阵计算方法的出现和流行, 有限元分析被纳入到计算力学(Computational Mechanics)的范畴. 其涉及的研究对象为力学(静/动力学)分支如: 固体, 流体, 热动力, 声学, 电磁等等.
3) 根据力学发展, Rayleigh-Ritz方法和Galerkin方法以及矩阵计算的出现均对有限元分析有奠基性的贡献. 所以, 有限元分析在不同研究领域会有不同引导方法. 举一些的例子(不全面):
固体力学中有限元方法可以由Rayleigh-Ritz的单元化形状函数条件下得到.流体力学中的部分问题可以由Rayleigh-Ritz的单元化形状函数条件下得到. 对于不存在能量泛函的情况,无法使用Rayleigh-Ritz推到有限元方法. 因此只能用Galerkin法推导.热力学中, 很多问题没有能量泛函, 无法使用Rayleigh-Ritz推导有限元方法. 因此也只能用Galerkin法推导.4) 简述Rayleigh-Ritz方法和Galerkin方法的主要步骤:
Rayleigh-Ritz方法首先将微分方程问题转化为泛函分析问题. 这需要建立该微分方程问题的在泛函是存在的前提下 (e.g. 在固体力学中, 该泛函为系统总能量 Total Energy). 在存在泛函表达后, 额外引入一组线性独立的函数组将求解变量场用独立函数组线性表示. 最后一步, 带入线性表示形式进入泛函得到近似泛函表示然后要求近似泛函取极值条件. 最后一步等价于寻找合适的线性展开系数, 使得近似泛函取极值 (e.g. 系统能量极小).Galerkin方法首先将微分方程问题转化为含有求解变量积分方程形式. 之后额外引入一组试探函数(通常线性独立)将求解变量场用试探函数表示. 然后将试探函数表示的求解变量代入积分方程形式得到含有余量(残差)的积分形式. 最后一步, 要求积分形式的余量取最小值得到相应试探函数表示系数. 最后一步等价于寻找合适的试探函数展开系数, 使得余量函数取最小值.5) Rayleigh-Ritz法和Galerkin法的主要区别存在于二者的力学(物理)含义, 适用范围等.
Rayleigh-Ritz法中的泛函(若存在)通常有着明确的力学含义, 例如系统总能量或纯势能等等. Galerkin法的余量函数代表着近似问题与原问题的接近程度, 不一定有明确的力学含义. 在某些问题中, Galerkin法余量函数和Rayleigh-Ritz泛函相同, 此时两种方法具有相同的力学含义. 不太严格的的说, Rayleigh-Ritz法(由历史发展)更倾向于力学理论的风格, Galerkin法更偏向于微分方程的近似理论. 然而, 在问题求解的适用范围上Galerkin法更普遍. 所以, 现如今的计算力学或有限元分析的教材, 部分已经不提及Rayleigh-Ritz法而直接使用Galerkin法去讲解有限元分析基础. 当然, 在动力学, 弹性力学, 流体力学, 声学及热动力学等偏力学理论教材中, 仍然会按步骤介绍Rayleigh-Ritz法作为应用力学及计算力学的重要泛函方法之一.6) 从历史上来说, Rayleigh-Ritz法要比Galerkin法出现更早一些, 相对影响也更深一些.


■网友
有限元法本身是基于积分变分方法的，Rayleigh-Ritz是直接变分，间接变分法也叫加权余量法。
根据权函数选择，加权余量法还有好几种方法。
【有限元法和泛函有啥关系，Rayleigh-Ritz法和Galerkin法是啥】 Galerkin属于其中一种。

■网友
变分法是研究泛函及其极值的求解方法的。对于泛函存在的情况，有限元是建立在变分法的基础上的。瑞利_李兹方法是一种求解泛函极值的近似方法。对于泛函不存在的情况，一般利用迦辽金方法推导得到有限元方法。


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