自旋的维度是几
补充一下原回答。
【自旋的维度是几】 也许一个问题是：“为什么是
？”，毕竟原回答是直接从天上掉下来这么个群，似乎没有什么道理。
与其说“自旋”，倒不如说“角动量”。自然地，角动量是旋转对称性——即
-对称性，在三维的时候——对应的守恒量（或者说，荷？），因此自然地会考虑具有
-对称性的量子力学系统。
通常来说，会考虑直接在这个希尔伯特空间
上的酉表示，这是一个自然的想法。但是事情并没有这么简单，因为“对称性”可以仅仅要求我的变换保持内积（概率振幅？），并且实际上我的量子态不是
中的（单位）向量，而应该是一维子空间，所以
并不一定是酉表示，也可以是 anti-unitary 的（反酉表示？），这是 Wigner 定理所保证的。不过通常也只在时间反演对称性的时候关心 anti-unitary，我没有在别的地方见过，所以通常我也只考虑酉的。并不一定是个线性表示，完全可以是投影表示，毕竟真正的态空间是希尔伯特空间的射影化
——虽然只有这个处理起来不大方便。也可以参见上一条的链接。
所以会希望考虑
的投影酉表示。然而这样的表示其实都来自于
的线性酉表示，比如可以看维基百科和相关的链接。当然了，线性的最方便，所以就一直考虑
了。
原回答：
首先一个问题是“自旋是什么”。大概每个人看到“自旋”心里面想的东西是不一样的，通常我会把它理解为“
的不可约表示”，至少在大部分量子力学问题里面这样看似乎没什么问题。
关于
的表示，大概需要了解：
Theorem. 对任意正整数
，存在一个
的
维不可约（复）表示，并且它的所有不可约表示都长成这样。
比如一维的时候就是平凡表示，二维的时候就是
作为矩阵群在
上的表示，三维的时候就是先投射
再在
上的表示。也可以用二元的齐次多项式来统一描述这些表示。
但按照通常的惯例，我们用整数或半整数
来标记它们，这样的表示就可以叫做“自旋-
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