两个极限交换次序的前提条件
两个极限交换次序的前提条件是有两个二次极限存在并相等 。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科 。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想 。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等都是借助于极限来定义的 。
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互换性的意义及分类
机器制造中的互换性是指，按照规定的几何、物理及其他质量参数的极限，来分别制造机械的各个组成部分，使其在装配与更换时不需辅助加工及修配，便能很好的满足使用和生产上的要求 。
互换性按照使用场合分为内互换和外互换 ， 按照互换程度分为分为完全互换性和不完全互换性和不具有互换性 。按照互换目的分为装配互换和功能互换 。
按照使用场合
内互换：
【互换性的意义及分类，两个极限交换次序的前提条件】标准部件内部各零件间的互换性称为内互换；
外互换：
标准部件与其相配件间的互换性称为外互换；
例如滚动轴承，其外环外径与机座孔、内环内径与轴颈的配合为外互换；外环、内环滚道直径与滚动体间的配合为内互换 。
按照互换程度分
完全互换性：
零部件在装配时不需选配或辅助加工即可装成具有规定功能的机器的称为完全互换；
不完全互换性
零部件在装配时需要选配（但不能进一步加工）才能装成具有规定功能的机器的称为不完全互换 。提出不完全互换式为了降低零件制造成本 。在机械装配时，当机器装配精度要求很高时，如采用完全互换会使零件公差太小，造成加工困难，成本很高 。这时应采用不完全互换,将零件的制造公差放大,并利用选择装配的方法将相配件按尺寸大小分为若干组 ， 然后按组相配,即大孔和大轴相配,小孔和小轴相配 。同组内的各零件能实现完全互换，组际间则不能互换 。为了制造方便和降低成本，内互换零件应采用不完全互换 。但是为了使用方便,外互换零件应实现完全互换 。
不具有互换性
当零件转配时需要加工才能装配完成规定功能的零件成为不具有互换性 。一般高精密零件需要相互配合的两个零件配作，或者对研才能完成其功能 。
对于标准部件来说，标准部件与其相配件间的互换性称为外互换；标准部件内部各零件间的互换性称为内互换 。例如滚动轴承，其外环外径与机座孔、内环内径与轴颈的配合为外互换；外环、内环滚道直径与滚动体间的配合为内互换 。互换性按互换程度又可分为完全互换和不完全(或有限)互换 。
按互换目的分类
装配互换性：
规定几何参数公差达到装配要求的互换称为装配互换；
功能互换性：
既规定几何参数公差，又规定机械物理性能参数公差达到使用要求的互换称为功能互换 。
上述的外互换和内互换、完全互换和不完全互换皆属装配互换 。装配互换目的在于保证产品精度，功能互换目的在于保证产品质量 。
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