什么是黄金比例(黄金比例的真正魔力) _小知识

我们听到的许多迷人的神话可能都是从一个真实的故事开始的，这个故事实际上是在历史的某个时刻产生的。但在一代又一代的说教中，一点一点地铸上传奇色彩，使得本来面目一点一点被遗忘。神话总能在人们的头脑中生存和进化，也许是因为它承载了一些隐藏的真理，能够满足人类的一些精神需求。
以逻辑严谨著称的数学，看似是神话的对抗，但有时候，一些数学真理会以一种“神话”般的情形进入大众意识，而不知道如何重复。今天我们要讲的是数学上的一个“神话”——黄金比例(golden ratio) 。
黄金比例是多少？
黄金比例是一个神奇的常数，通常用希腊字母表示。它出现在很多文艺作品中，比如小说和电影《达芬奇密码》，里面提到了这个神秘的数字。之所以神秘，是因为相对于数学中的许多其他概念，这个数字确实有更多的“神话”:它被许多作家描述为自然界一切美丽图案的基础，是一个神圣的比例；它也被认为是许多艺术作品和建筑的基本设计，如希腊的帕台农神庙和埃及的金字塔。
黄金比例最早出现在欧几里德的《几何》一书中，欧几里德将其定义为:

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那么，到底等于多少呢？我们知道， a/b = ，和(a+b)/a = ，所以上图中的等式可以变成:

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要求解这个方程，您可以得到:

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因为必须大于1 ，所以我们取= 1.61803…是无理数，这个不难理解，因为根数5是无理数，也就是说不能写成两个整数之比。这是黄金比例的一个非常重要的性质。
一维黄金比例也可以推广到所谓的黄金矩形。我们可以按照以下步骤画出一个金色的长方形:
1.首先，画一个边长为a的正方形；2.然后取正方形的一边(如底边)的中点:画一个以中点为中心，以中点到与对面相连的顶点的距离为半径的圆；3.延伸底边使其与圆弧相交，交点为黄金矩形的一角。

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除了黄金矩形，黄金比例还有一个可爱的几何表达，就是边长为1的正五边形的对角线长度。(读者可以尝试用余弦定理来检验！)

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如上图所示，边长为1 ，，的等腰资源网三角形BAD称为金三角，在五次对称的讨论中经常出现。例如，五角星由五个金色三角形组成:

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其实黄金分割比的定义有很多方法。一个非常著名的例子是斐波那契数列:

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这个序列的下一项是前两项之和，是斐波那契提出的一种理解兔子种群增长的方法，对理解种群增长起着主要作用。
这个系列和黄金比例有什么关系？是约翰尼斯·开普勒首先发明了这个惊人的秘密。他注意到，如果你取这个序列中两个相连数的比值(后一个比前一个好) ，这个比值可以组成一个序列:

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这个系列最终会收集到一个熟悉的数字——1.618...这个系列的极限就是黄金比例。

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黄金比例的不合理性，让我们看到了可以在黄金矩形中无限循环的斐波那契数列的比例。
被神化的黄金比例
黄金分割率是一个有趣的数字，它有许多独特的性质和许多有用的应用。这些独特的性质引起了一些数学家的注意，但对于大众来说，这些性质却被意外地提升到了一个不恰当的位置。
在数学家的资源网眼里，主要常数有很多，比如√2——是边长为1的正方形的对角线长度，也是一张A4纸的长宽比。事实上，几何中1 ， √2 ， √3的出现频率远高于几何。