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积分变换基础( 二 )

积分变换


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【积分变换基础】图6
图5中例子 ， 当k=0~7时 ， 在一个周期上 ， 傅里叶级数的直流分量和余弦函数表示如图6所示 。

积分变换基础

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图7
图8给出了当k逐渐增大时 ， 有限k项的级数和的逼近情况 。
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图8
一个例子怎么能行 ， 课本上有周期方波的傅里叶级数展开 ， 这里再给一个台阶信号及其傅里叶级数逼近的过程 。其中蓝色为周期等于1的台阶信号 ， 在t=0.25 ， 0.75和1处存在不连续点 。红色为当k增大时 ， 有限k项傅里叶级数表示的信号 ， 灰色是红色在t-x(t)平面的投影 。可以看到“吉伯斯现象”(Gibbs phenomenon) 。在间断点处出现过冲和振荡 。
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图9
当然 ， 不是时域的任意信号都能够表示的傅里叶级数都是收敛的 。需要满足一定的条件 。对于傅里叶级数的收敛条件 ， 德国数学家 ， 狄利克雷(Dirichlet ， 1805~1859）于1829年发表了任意函数展开为傅里叶级数及收敛性的文章 。也成为判断傅里叶级数收敛的重要条件 。
图10先出"信号"与"系统"的汇总关系图 。在时域我们基本能完成信号与系统的所有操作 。那么通过积分变换 ， 转换到s域或z域 。会有与时域不一样的新特性 ， 和运算的便利性 。
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图10
 




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