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三个步骤完成强连通分量分解的Kosaraju算法

Kosaraju算法

我们来聊聊图论当中的强连通分量分解的Tarjan算法 。
Kosaraju算法一看这个名字很奇怪就可以猜到它也是一个根据人名起的算法，它的发明人是S. Rao Kosaraju，这是一个在图论当中非常著名的算法，可以用来拆分有向图当中的强连通分量 。
背景知识这里有两个关键词，一个是有向图，另外一个是强连通分量 。有向图是它的使用范围，我们只能使用在有向图当中 。对于无向图其实也存在强连通分量这个概念，但由于无向图的连通性非常强，只需要用一个集合维护就可以知道连通的情况，所以也没有必要引入一些算法 。
有向图我们都了解，那么什么叫做强连通分量呢？强连通分量的英文是strongly connected components 。这是一个很直白的翻译，要理解它我们首先需要理解强连通的概念 。在有向图当中，如果两个点之间彼此存在一条路径相连，那么我们称这两个点强连通 。那么推广一下，如果一张图当中的一个部分中的每两个点都连通，那么这个部分就称为强连通分量 。
强连通分量一般是一张完整的图的一个部分，比如下面这张图当中的{1, 2, 3, 4}节点就可以被看成是一个强连通分量 。

三个步骤完成强连通分量分解的Kosaraju算法

文章插图
 
其实求解强连通分量的算法并不止一种，除了Kosaraju之外还有大名鼎鼎的Tarjan算法可以用来求解 。但相比Tarjan算法，Kosaraju算法更加直观，更加容易理解 。
算法原理Kosaraju算法的原理非常简单，简单到只有三个步骤：
  1. 我们通过后序遍历的方式遍历整个有向图，并且维护每个点的出栈顺序
  2. 我们将有向图反向，根据出栈顺序从大到小再次遍历反向图
  3. 对于点u来说，在遍历反向图时所有能够到达的v都和u在一个强连通分量当中
怎么样，是不是很简单？
下面我们来详细阐述一下细节，首先后序遍历和维护出栈顺序是一码事 。也就是在递归的过程当中当我们遍历完了u这个节点所有连通的点之后，再把u加入序列 。其实也就是u在递归出栈的时候才会被加入序列，那么序列当中存储的也就是每个点的出栈顺序 。
【三个步骤完成强连通分量分解的Kosaraju算法】这里我用一小段代码演示一下，看完也就明白了 。
popped = [] # 存储出栈节点def dfs(u):    for v in Graph[u]:        dfs(v)        popped.Append(u)我们在访问完了所有的v之后再把u加入序列，这也就是后序遍历，和二叉树的后序遍历是类似的 。
反向图也很好理解，由于我们求解的范围是有向图，如果原图当中存在一条边从u指向v，那么反向图当中就会有一条边从v指向u 。也就是把所有的边都调转反向 。
我们用上面的图举个例子，对于原图来说，它的出栈顺序我们用红色笔标出 。
三个步骤完成强连通分量分解的Kosaraju算法

文章插图
 
也就是[6, 4, 2, 5, 3, 1]，我们按照出栈顺序从大到小排序，也就是将它反序一下，得到[1, 3, 5, 2, 4, 6] 。1是第一个，也就是最后一个出栈的，也意味着1是遍历的起点 。
我们将它反向之后可以得到：
三个步骤完成强连通分量分解的Kosaraju算法

文章插图
 
我们再次从1出发可以遍历到2，3， 4，说明{1, 2, 3, 4}是一个强连通分量 。
怎么样，整个过程是不是非常简单？
我们将这段逻辑用代码实现，也并不会很复杂 。
N = 7graph, rgraph = [[] for _ in range(N)], [[] for _ in range(N)]used = [False for _ in range(N)]popped = []# 建图def add_edge(u, v):    graph[u].append(v)    rgraph[v].append(u)# 正向遍历def dfs(u):    used[u] = True    for v in graph[u]:        if not used[v]:            dfs(v)    popped.append(u)# 反向遍历def rdfs(u, scc):    used[u] = True    scc.append(u)    for v in rgraph[u]:        if not used[v]:            rdfs(v, scc)            # 建图，测试数据         def build_graph():    add_edge(1, 3)    add_edge(1, 2)    add_edge(2, 4)    add_edge(3, 4)    add_edge(3, 5)    add_edge(4, 1)    add_edge(4, 6)    add_edge(5, 6)if __name__ == "__main__":    build_graph()    for i in range(1, N):        if not used[i]:            dfs(i)    used = [False for _ in range(N)]    # 将第一次dfs出栈顺序反向    popped.reverse()    for i in popped:        if not used[i]:            scc = []            rdfs(i, scc)            print(scc)


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