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等比数列及其前n项和 等比数列前n项积


等比数列及其前n项和 等比数列前n项积

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几何级数的前N个乘积(几何级数及其前N个和)
昨天我们讲了等差数列及其前N项之和 ， 那么今天我们就继续讲解数列的另一个重要知识内容 ， 即几何级数及其前N项之和 。
几何级数可以说是系列的核心内容 ， 自然也是高考必考的知识点之一 。高考数学中 ， 与几何级数相关的主要考点有:几何级数的基本运算和通式；几何级数的性质；几何级数的前n个和；几何级数的综合应用等等 。
几何级数和等差数列在定义上只有一字之差 ， 在通式和性质上有很多相似之处 ， 其中等差数列中的“和”和“倍数”可以与几何级数中的“积”和“幂”相提并论 。
注意几何级数与等差数列的异同 ， 有助于我们从整体上把握 ， 同时也有利于类比的推广 。对于等差数列项之和或等比数列项之积的运算 ， 如果能注意到通式An = f (n)的下标n的大小关系 ， 就可以简化题目的运算 。
今天我简单讲一下几何级数及其前N项和相关知识 。
【等比数列及其前n项和 等比数列前n项积】什么是几何级数？
一般来说 ， 如果一个数列的每一项与其前一项从第二项开始的比值等于同一个常数(不为零) ， 那么这个数列叫做几何级数 。这个常数称为几何级数的公共信息资源比例 ， 通常用字母Q表示 ， 定义的表达式为an+1/an = q (n ∈ n * ， Q为非零常数) 。
有等差均值项 ， 也有等比均值项 。一般如果a ， g ， b是几何级数 ， 那么g称为a ， b的等均值 ， 即g是a ， b的等均值 ， a ， g ， b是几何级数G2 = ab 。
从这里 ， 我们可以看出 ， 几何级数有以下两个明显的特点:
1.根据几何级数的定义 ， 几何级数的任何一项都是非零的 ， 公比q也是非零常数 。
2.从an+1 = Qan ， q≠0不能马上断言{an}是几何级数 ， 还要验证a1≠0 。
通过几何级数的概念和特征 ， 我们可以得到几何级数的判断方法:
1.定义:若an+1/an = q (q为非零常数 ， n∈N*)或an/an-1 = q (q为非零常数且n≥2 ， n∈N*) ， {an}为几何级数 。
2.等比中值法:若在数列{an}中 ， an≠0且an+12 = Anan+2 (n ∈ n *) ， 则数列{an}为等比数列 。
3.通式法:如果级数的通式可以写成An = CQN (C ， Q都是不为零的常数 ， n∈N*) ， 那么{an}就是几何级数 。
同时 ， 我们还需要掌握两个非常重要的几何级数公式:
1.通式:an = a1qn-1 。
2.前n项和公式:sn = na1 ， q=1或sn = a1 (1-qn)/1-q = (a1-anq)/1-q ， q≠1 。
典型示例1:

利用几何级数的前N项和Sn公式解题 ， 要注意以下两个方面:
1.用位错减法求出几何级数的前n项和Sn 。注意这种思想方法在级数求和中的应用 。
2.在应用几何级数的前N项和公式时 ， 一定要注意对Q = 1和q≠1的分类讨论 ， 防止因忽略Q = 1的特例而造成的解题错误 。
同时 ， 我们应该记住几何级数{an}的一些共同性质:
1.在几何级数{an}中 ， 若m+n = p+q = 2r (m信息资源网 ， N ， p ， q ， r∈N*) ， 则aman = apaq = ar2 。
特别地 ， a1an = a2an-1 = a3an-2 =...
2.在公比为Q的几何级数{an}中 ， 序列am ， AM+K ， AM+2K ， AM+3K ， ...仍然是一个与QK的普通比率相等的数字信息资源网络；
系列Sm ， S2M-SM ， S3m-S2m ， ……还是几何级数(此时Q≦-1)；an=amqn-m 。
典型示例2:

几何级数基本量的运算是几何级数中的一个基本问题 。数列中有a1 ， N ， Q ， an ， Sn五个量 ， 一般可以通过解方程(组)来求解 。
使用几何级数的前n项和公式时 ， 要按公比Q分类讨论 ， 切不可忽视Q的数值 ， 盲目使用求和公式 。


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