同学们 ， 你知道什么是多面体的展开图嘛？
将一个三维多面体沿边线裁开 ， 并将多面体表面在平面上摊平 ， 我们就得到了该多面体的展开图(unfolding) 。
如果展开图中的各个面之间互相没有交叠 ， 则称之为简单展开图(net) 。
1525年 ， 德国画家丢勒(Albrecht Durer)研究了一些正多面体和半正多面体的展开图的构建
。
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【正多面体|凸多面体的平面展开图，一定不会重叠么？】
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可以看出 ， 所有正多面体都具有简单展开图 。
你能构建出一个具有非简单展开图的多面体吗？
下面这种多面体可能是你最先想到的：
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不过 ， 它依然具有简单展开图——
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那能否构建出不存在简单展开图的多面体呢？
答案是肯定的 。
比如下面这种 ， 无论以何种方式裁剪展开 ， 总会有两个面交叠 。 玄机就在于无论怎么展开总会有两个红色面相邻 ， 而这相邻面形成的空格仅够放两个绿色的面！
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如果我们仔细观察 ， 会发现 ， 上面两种具有非简单展开图的多面体都至少有一个面是非凸多边形 。
那是不是限制多面体的每个面都是凸多边形 ， 就能保证任意裁剪展开都是简单展开图呢？
或者退一步 ， 至少保证有一种简单展开图呢？
很遗憾 ， 数学家找到了这样一个多面体 ， 它的每个面都是凸多边形 ， 然而却不具有简单展开图 ， 就是下面这样的
。
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聪明的你一定发现了 ， 这些具有非简单展开图的多面体都比较怪异 ， 准确的说它们都不是凸多面体 。
所谓凸多面体是指这样一类多面体——
将其任意一个面扩展成平面 ， 其他所有面都在该平面的同一侧 。
如果将黄色面扩展开来 ， 就会将这个多面体分割在这个面的两侧 ， 所以他不是一个凸多面体 。
比如之前我们提到的下面这个多面体 。
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那么 ， 是不是凸多面体的任意展开图都是简单展开图呢？
数学家们又发现了这样一些反例
。
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最后的最后 ， 跟大家介绍一个猜想 ， 它是由舍普哈德（Shephard）在1975提出的：对于凸多面体 ， 一定具有某种裁剪方法使其展开图为简单展开图
。
这一次 ， 数学家们没能再举出反例 ， 但也没能给出证明 。
聪明的你 ， 能找出反例嘛？
参考文献:
1、Schlickenrieder W . Nets of Polyhedra[J]. Thesis Berlin Technische Universitat Berlin, 1997.
2、Marshall Bern and Erik D. Demaine and David Eppstein and Eric Kuo and Andrea Mantler and Jack Snoeyink. Ununfoldable polyhedra with convex faces[J]. Computational Geometry, 2003.
3、Buekenhout F , Parker M . The number of nets of the regular convex polytopes in dimension≤4[J]. Discrete Mathematics, 1998, 186(1-3):69-94.
4、Sabine Bouzette, Francis Buekenhout, Edmond DonyAlain Gottcheiner. A Theory of Nets for Polyhedra and Polytopes Related to Incidence Geometries[J]. Designs,Codes&Cryptography, 1997.
5、Shephard G C . Convex polytopes with convex nets[J]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1975, 78(3):389-403.
作者介绍：冯伟 ， 新东方超尖生计划授课老师 ， 清华硕士 。 全国初中数学、物理、化学三项竞赛一等奖 ， 中国西部数学奥林匹克银牌 ， 北京市大学生数学竞赛一等奖 ， 全国大学生物理竞赛一等奖 ， 清华大学优秀硕士毕业生 。
来源：新东方智慧学堂
编辑：C&C
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