科学|彭罗斯：不思考生物化学的诺贝尔物理学奖得主不是好的数学家( 二 )
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彭罗斯阶梯是荷兰版画大师埃舍尔作品《上升与下降》的主题 。
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在电影《盗梦空间》里友情出演
彭罗斯最著名的趣味数学发现当属他上世纪70年代发现的彭罗斯镶嵌 (Penrose tiling)。 这里说的镶嵌就是用地板砖无缝铺满平面 。 我们最常见的地板砖是方形的 ， 因为用同样大小的方形很容易铺满平面 。 我们也可以用同样形状和大小的三角形来铺满平面 。
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用香瓜的玩具拼出来的图
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任意形状的三角形都可以铺满平面
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任意形状的四边形都可以铺满平面
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甚至这种奇形怪状的也能
有了三角形和四边形 ， 下一个形状就是五边形 。 然而 ， 同样形状和大小的五边形不能拿来铺满平面 。 无论怎么铺 ， 总会有缝隙 。
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下一个是正六边形 ， 可以铺满平面 。 勤劳的小蜜蜂搭建的蜂巢就是这种形状 。
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前面几种铺满平面的方式都是周期性的 ， 意思就是可以把所有地板砖朝某个方向平行移动一段距离 ， 得到的铺法跟原来的还是分毫不差 。 比如方形的铺法 ， 可以沿水平方向平移一个方格边长的距离 ， 也可以沿竖直方向平移同样的距离 ， 得到的铺法跟原来的一样 。 这些铺法实际上都是双周期性的 ， 也就是说沿着两个无关的方向平移后还不改变 。 在讨论平面镶嵌时 ， “周期性”通常指的就是双周期性 。
可以证明 ， 如果只用一种全等的多边形铺满平面 ， 得到的镶嵌必然是周期性的 。 著名华裔逻辑学家王浩在六十年代提出如下问题：能否只用有限种全等的多边形得到非周期性的平面镶嵌？他的学生Robert Berger在1964年构造出第一个非周期性的例子 ， 需要20426种多边形 。 Donald Knuth和Raphael Robinson等人先后给出需要多边形种类更少的例子 ， 所需的多边形种类被降到6种 。
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王浩最初研究使用这种着色的正方形(被称为王浩骨牌)铺满平面 ， 使得相邻正方形沿着同样颜色拼起来 。 王浩镶嵌可以修改为不着色的多边形镶嵌 。
彭罗斯镶嵌是第一个只需要两种多边形的例子 。 这里的地板砖是两种不同形状但具有同样边长的菱形 。 一个菱形的四个角的角度分别是36°,144°,36°,144° ， 另外一个菱形的四个角度分别是72°,108°,72°,108° 。 [3]
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彭罗斯使用的几何形状
用这两种菱形可以造出无数个非周期性的铺法 ， 比如下图 。
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