数学|一个简单易懂，却可能没有答案的数学问题
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著名数学家陶哲轩的伯乐保罗·埃尔德（Paul Erd s）曾说：“数学还没有做好准备面对这样的问题” 。 专门研究这个问题的数学家Jeffrey Lagarias说：”这是一个危险的问题 。 人们沉迷于这个问题 ， 但解决它真的是不可能的任务 。 “
两位数学家口中所说的问题 ， 名为考拉兹猜想 。
考拉兹猜想是数学中最引人注目的难题之一 ， 它由德国数学家洛塔尔·考拉兹（Lothar Collatz）于1937年最早提出 。 与众多晦涩难懂的数学猜想不同的是 ， 它看起来非常简单 ， 任何已经学过加减乘除的小学生都可以对它进行推演 。
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考拉兹猜想说的是：无论选择什么正整数作为开始 ， 通过应用上述函数中的规则 ， 最终都会得到1 。
这个问题说起来很简单 ， 理解起来也很容易 ， 从f(n)的表达式来看 ， 它的运算规则一目了然：对于任何正整数 ， 如果数字是偶数 ， 则将其除以2；如果数字是奇数 ， 则让其乘以3 ， 再加1 ， 再除以2；一遍一遍地重复这个过程 ， 直到得到1 ， 然后开始陷入一个循环 。
以数字13为例：13是奇数 ， 所以对于f(13)来说 ， 它需要乘以3得到39 ， 加1得到40；这时 ， 40是偶数 ， 所以f(40)需要除以2 ， 得到20；再用20来重复这个计算；20又是偶数 ， 所以只需继续除以2得到10；10还是偶数 ， 除以2后得到5；5是奇数 ， 乘以3、再加1再除以2 ， 得到8；8为偶数 ， 除以2等于4；4再除以2得到2；最后2除以2得到1 。
当1开始出现时 ， 事情开始变得有趣了 。 1是奇数 ， 它需要乘以3再加上1 ， 于是你又会重新得到4 。 接下来 ， 故事的发展就是我们已经知道的那样 ， 4到2到1再到4——陷入一个循环 。 如果用箭头来表示整个计算过程 ， 以13为例 ， 我们就会得到考拉兹序列：
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任何正整数都会进入这个循环吗？
这正是考拉兹猜想所预测的：无论你以任何正整数开始 ， 最后都会以这个循环结束 。 不信的话你可以拿任何正整数来试试 ， 看会不会都最终陷入这样一个循环 。
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其实 ， 如果你想要找到一个反例 ， 可能需要代入一个稍微大点的数字才可能有机会 ， 因为目前在计算机的帮助下 ， 数学家已经对每一个小于2的数字进行了验证 。 尽管每个已被试过的正整数都会在这个循环中结束 ， 但我们仍然不能确定考拉兹猜想是否总是正确 ， 它至今仍只是个猜想 ， 始终没有人能为这个看似简单易懂的猜想给出完整的证明 。
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为什么证明每一个数字都符合这个猜想会如此之难呢？
要证明这个猜想 ， 一个重要的思路是 ， 如果能够证明当对任何正整数运用函数f的运算法则时 ， 总会得到更小的数 ， 那么这将会是证明这一猜想的关键 。 这是什么意思？我们可以以一个与函数f相似 ， 但又稍微简单一点的分段函数g为例 。
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继续13为例 ， 在函数g下 ， 13的序列会是：
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当g中出现1时 ， 它的循环变成了
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相比于f ， 13在函数g的运算规则下进入循环的速度更快 。 那么 ， 对所有的正整数来说 ， 在函数g中迭代是否总能循环到1呢？答案是肯定的 ， 这是可以被证明的 。
在函数g中 ， 如果n是正偶数 ， 那么g(n) = n/2 ， 始终小于n本身 。 也就是说 ， 当在函数g中迭代的数字为偶数时 ， 下一个数字一定会更小；如果n是正奇数 ， 那么g(n) = n + 1 ， 大于n ， 而n + 1是偶数 ， 那么接下来 ， 下一个数字将变成(n + 1)/2 ， 如此一来 ， 对于一个奇数n来说 ， 它在函数g下的迭代序列会是
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而我们已知 ， 当n > 1时 ， (n+1)/2 总是小于n的 。 这也就是说 ， 在函数g下 ， 当一个轨道中出现了大于1的奇数n时 ， 就总能在两步之后得到一个更小的数(n+1)/2 。
如此一来 ， 无论是n是奇数还是偶数 ， 它在g函数中的迭代都会产生呈越来越小的趋势发展的序列 ， 唯一会打破这个规则的是在变小的过程中出现了1 ， 当1一旦出现 ， 便开始进入循环之中 。
那么 ， 为什么同样的方法就无法被来证明考拉兹猜想呢？
如果n是偶数 ， 那么在函数f中 ， 下一个数字n/2会变小 。 但当n为奇数时 ， 会得到偶数3n+1 ， 接着这个偶数再除以2 ， 得到始终比n大的(3n+1)/2 。 这种情况在g的证明中是不存在的 ， 对函数g来说 ， 当一个奇数n出现时 ， 两步的迭代之后就能得到更小的数字；但对f来说 ， 情况并非这样 。
为什么会出现这一问题？其实 ， 问题出在(3n+1)/2的数值上 ， 它既有可能是奇数 ， 也有可能是偶数 。
如果(3n+1)/2是偶数 ， 那么下一个数字将是(3n+1)/4 ， 序列会呈减小趋势；但如果(3n+1)/2是奇数 ， 那么下一个数字将是3(3n+1)/2+1 ， 序列会呈增加趋势 。 因此 ， 这一方法并不适用于证明考拉兹猜想 。
不过 ， 以上这种方法也并非对数学家完全没有启发 。 从概率来看 ， (3n+1)/2有一半的概率是偶数 ， 也就是说在下一步能得出小于n的(3n+1)/4的概率为50% ， 这也就意味着一个奇数在两步迭代后会变小的概率是50% 。 接着 ， (3n+1)/4又有50%的概率是偶数 ， 也就是说 ， 一个奇数在经过三步迭代后 ， 变成一个小于自身的一半的数的概率是25%……
最终的结果是 ， 平均来说 ， 当函数f中出现一个奇数时 ， 是会出现减小的趋势的 。 再加上f函数在遇到偶数时总是会减小 ， 因此从长远来看 ， 在函数f下的迭代所产生一定是趋于减小的序列 。 这种概率性的论证已被大多数数学家所接受 ， 他们相信这一猜想是正确的 ， 但仍然没有人能发展出一个数学上的严格证明 。
对于这个问题 ， 数学家们已经达成普遍的共识 ， 那就是这是个不可能的问题 。 然而 ， 好在仍有一众优秀的数学家愿意为这个可能是徒劳的问题付出努力 ， 使得在我们这一问题上也并非全无进展 。 2019年 ， 数学家取得了”最接近考拉兹猜想“的结果 ， 而做出了这一工作的 ， 就是著名的数学家陶哲轩 。
2019年9月 ， 陶哲轩在博客上发表了一篇标题为《几乎所有的考拉兹序列都得到了几乎有界值》的文章 ， 他用一种巧妙而隐晦的方式 ， 让考拉兹猜想几乎得到了解决 。 “几乎”的意思是 ， 他证明了相对于已知能最终达到1的数字的数量来说 ， 无法确定的数字数量可以忽略不计 。
在1976年 ， 数学家Riho Terras证明了在反复应用考拉兹函数之后 ， 几乎所有的数字最终都比它们最开始时要小 ， 他证明几乎任何正整数n的考拉兹序列 ， 最终都小于n 。 陶哲轩的工作对这一结果进行了进一步的限制 ， 他证明了几乎任何正整数n的考拉兹序列 ， 最终都比n/2、√n、ln(n)更小 。 这也就是说 ， 对于几乎任何正整数 ， 都可以确定它的考拉兹序列会尽可能的向更小的方向发展 。
虽然我们几乎可以肯定 ， 陶哲轩的方法无法完全证明考拉兹猜想 ， 但这绝对是在没有完全解决这个猜想的情况下 ， 所能得到的最好结果 ， 他取得了近几十年来在这个问题上的最大进步 。 与此同时 ， 这也是对想要继续挑战这个问题的数学家的一个警钟：这个看似简单的问题 ， 真的太难了！
附加题
如何证明存在无穷多个可最终得到1的考拉兹序列？
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参考来源：
https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/
https://plus.maths.org/content/os/latestnews/may-aug10/hailstones/index
【数学|一个简单易懂，却可能没有答案的数学问题】https://terrytao.wordpress.com/
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