学生|名师工作坊 | 数学特级教师涂玉霞：好材料，是深度学习的前提
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涂玉霞
湖北省武穴市师范附属小学校长，数学正高级教师，华中师范大学教育硕士，教育部名师领航工程成员，提出原汁数学教学理念。湖北省第十一次党代会党代表，湖北省特级教师，湖北名师，湖北名师工作室主持人，湖北省第二批卓越校长培养对象，湖北省国培专家库成员，湖北教科院、湖北师范大学兼职研究员，黄冈师范学院兼职硕士生导师，荣获“中国好校长”“湖北省三八红旗手”“黄冈市五一劳动奖章”等奖项。
数学到底是一个什么样的学科？它在人的发展中承载着什么样的光荣使命？我认为有三个核心点：解决实际问题、完善思维模式、带来精神愉悦。这也是我们所倡导的原汁数学的教学价值观 — 从本质出发，让学习变得自信自主，有趣有效。要实现这种价值观，必须选择合适的学习材料，进行深度学习，把零碎的知识点变成丰富的模型，继而形成数学素养。
那么什么样的材料，才能引发学生深度思考，让学生进入深度学习状态呢？原汁数学研究团队这些年来致力于开发“3·14”型思维拓展素材。不再只是限于教材中的例子，而是从现实生活、数学史话、趣题、魔术、游戏中去挖掘丰富多样、富有启迪的材料，使学生能够运用数学的眼光与思维，去认识世界、理解世界和表达世界。
一、“3”点原则：新鲜点，贴近点，本质点
教学最重要的不是在于教师讲了多少，而是在于学生学了多少。儿童注意力集中时间短，喜欢新鲜生动的、易于理解的知识，因此，我们要遵循儿童的学习特点和数学学习特征，尽量为学生选择新鲜生动、接近其最近发展区、凸显数学本质的材料。
像爱迪生那样思考
学习材料1：脑筋急转弯。
倒过来看，不难发现是87。教师及时总结，这种“倒过来”的思考方法突破思维定式，在生活中有很大的作用。
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学习材料2：求一个空啤酒瓶的容积。
核心问题1：如果让你求出这个空啤酒瓶的容积，你有什么办法吗？
生1：将啤酒瓶加满水，然后将水倒入一个量杯中，量出的水的体积就是啤酒瓶的容积。
师：真是一个不错的方法。大家知道这个方法了吗？他是受到了什么启发想到这个方法的呢？
生 2：爱迪生教他的助手测量灯泡的容积的方法。
师：大家说说看，爱迪生的方法巧妙在哪？
生3：把啤酒瓶的容积转化成水的体积，水的体积可以通过量杯测量出来。
核心问题2：如果啤酒瓶里不加满水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容积吗？
讨论：这时水的体积是不是啤酒瓶的容积？
你需要测量哪些数据，求出啤酒瓶的容积？
啤酒瓶的容积=的体积+的容积
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核心问题3：是不是只要瓶子里有液体，无论它有多少，都能求出瓶子的容积呢？
教师通过液面不断上升的动态演示，使学生明白当液面的高度超过瓶子的颈线位时，瓶子里的液体将变成不规则图形，运用此方法无法求出其容积。当液面不断下降，倒过来之后液面的高度低于瓶子的颈线位时，这时空的部分仍然是不规则图形，此方法也求不出它的容积。
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这样的学习材料就很有意思。第一，以停车场的脑筋急转弯进入，“倒过来”的思考角度为后面的学习做了很好的铺垫。第二，把爱迪生的转化思想进一步深入，如果把水倒出去，用什么方法来测量？以“倒过来”的思路，把不规则的体积变成规则的体积，充分体现了转化思想的灵活性。第三，抛出“如果啤酒瓶里不加满水，只加一部分水也能求出啤酒瓶的容积吗？”问题后，让学生懂得“这一部分水”是有限制条件的，只有这样才算完整解决问题，同时也渗透了函数思想 — 自变量是有取值范围的。
在传统教学中，教师往往只给学生相关数据，把教学停留在让学生算出啤酒瓶的容积上，好比是给学生一把钥匙，让他去开门，是一种机械动作。而陈天平老师提供的教学案例，是在提供富有思维含量的材料的同时，从多个角度、多个层次展开问题解决的探究，整个教学过程都需要学生调动已有的知识和经验去解决问题，好比是给学生一串钥匙，让学生自己从中找到正确的那一把钥匙去开门，这属于一种智力活动。
二、 “1”个宗旨：思考真正发生，智慧真正生长
我们所选择的素材一定不会是哗众取宠，追求另类，而是让学生在这种思维碰撞中，获得乍现的灵光，全神贯注地投入学习中。
撕纸也能计算
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是不是觉得很“烧脑”？看似非常复杂的计算题，却通过撕纸这样的方法，让它变得异常简单。它把一个个抽象的数变成了具象的小纸条，使计算过程看得见，算法理得清。教师又通过解法欣赏，进一步帮助学生打开了思路。选择合适的学习材料再加上独到的教学指导，使枯燥的计算也有了思考的深度和思想的厚度。
教学中，我们把握三个要领：第一，选择的材料难度应该略高于学生的现有水平，使学生愿意尝试；第二，要有普遍性和典型性，能够反映一般特征；第三，要能扩展开来，可以举一反三。
三、“4”种特征：联结性，发展性，挑战性，开放性
深度学习有五个层级，第一个层级没有发生学习，第二和第三层都是浅层学习。拿第三个层级来说，这样的学习就好比我们认识一个人，知道他的名字、长相和工作单位，但我们并不了解他，我们需要结合他的性格特征和工作经历来认识他，让学习达到第四级和第五级的水平，这就是深度学习。深度学习的材料只有尽可能实现联结性、发展性、挑战性、开放性，才能够建立整体结构。
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眼见为“实”吗？
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这个学习材料，首先，它是具有联结性的。一般教学中，教师只是出示很多组线段，让学生反复去辨别是不是平行线，然后教师问“为什么是平行线”，这缺乏知识运用的现实价值。而原汁数学的学习，注重知识的融合和价值观的融合，如运用垂直来判断平行关系，通过错觉图例引发学生思考，培养正确判断事物的科学态度。其次，它具有发展性。从判断两条直线是否平行到判断众多条直线是否平行，更需要方法的巧妙运用，这对学生深层次理解平行很有好处。同时，它也是富有挑战性和开发性的。在矛盾冲突中，学生的好奇心和利用数学知识去解决问题的迫切愿望得以激发，学生获得了“跳一跳就可以摘到桃子”的愉悦感和成就感。
你相信算命吗？
师：猜想一下，咱们武穴市有83万人，有没有人会在同一天出生？
生齐：肯定有！
师：那至少会有多少人在同一天出生呢？
师：这是属于哪类问题？
生 1：抽屉原理。一年最多 366 天，按照最不利原则，我们假设有 366 个抽屉。830000÷366=2267……278。每个抽屉里装2267个人，还有278人，那么也就是说至少有2268人在同一天出生。
师：再进一步思考，至少有多少人会在同一时出生呢？
生 2：一天 24 个小时，相当于 24 个抽屉。2268÷24=94……12。至少有95人在同月同日同时出生。
师：武穴至少有95人在同月同日同时出生，那么他们的命运和性格应该是相同的，对不对？
【 学生|名师工作坊 | 数学特级教师涂玉霞：好材料，是深度学习的前提】生3：我觉得不大可能。
师：但是我们常常看到一些心理测试，还有一些星座算命，都说只要知道生日或出生的时辰，就能够算出他的性格和命运。而且，还有很多人说，算得特别准。这是什么原因？其实并不是因为算得准确，而是因为我们常常更倾向于相信一些笼统而普遍的人格描述。这些特点的描述既空洞又模糊，但是人们很容易接受这些描述，这也就是心理学上说的福勒效应。
延伸练习：人类的头发依种族和发色的不同，数量也略有差异。黄种人约有10万根；长有金色头发的白种人头发较细，约有12万根；红色头发略粗，有8万～9万根。83万的武穴人中至少有多少人的头发根数一样多？
这组学习材料的特点在于，能够结合生活中的现实问题，让学生运用抽屉原理来加以解决，有实际价值。同时，以数据来破解迷信，帮助学生树立正确的世界观，体现了“大数学观”。
好的学习材料正如一首好诗，总能触及人的心灵，让人进行类比联想。正如这首小诗所写，我忘记了作者是谁，不过诗的内容我却是一句也忘不了。
数学的味道
和巧克力的味道一样
甜中带点苦
苦中带点甜
只有细心品味的人
才能知道
它真正的滋味
学数学的意义
不在于它的用处
而在于你忘我的投入
重点不是
花多少时间做数学
而是你花多少时间
让自己
变得喜欢做数学
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