方程|助你在考试中更快拿分高中数学常用的解题结论
江苏龙网_原题是：高中数学常用的解题结论 ， 助你在考试中更快拿分
解答解析几何习题 ， 既要考虑常规解法 ， 也要注意运用其它思路 ， 如逆向思维 ， 极限思想 ， 借助于平面几何等等 。
1. 逆向思维
例1. 过点A（-1 ， 5） ， B（-4 ， 2）的直线交直线 l ： 于点M ， 求AM：MB 。
通常是先写出直线AB的方程 ， 再求AB与 l 的交点M的坐标 ， 从而求出比值 。
若运用逆向思维 ， 先设AM：MB＝λ ， 用λ表示点M的坐标 ， 由点M在直线 l 上 ， 即可求出λ值 。
【方程|助你在考试中更快拿分高中数学常用的解题结论】解：设AM：MB＝λ ， 则得
因为
所以
解得
故AM：MB＝2
例2. 双曲线 的任一切线交x轴于点A ， 交y轴于点B ， O为原点 ， 求证：△AOB的面积为定值 。
通常是先写出双曲线的任一切线的方程 ， 求出A、B的坐标 ， 再证得结论 ， 当然可以 ， 但过程较繁 。
若运用逆向思维 ， 先设A、B的坐标 ， 写出AB的方程 。 由AB与双曲线相切证得结论 ， 则较为简便 。
证明：设A（m ， 0） ， B（0 ， n） ， 则直线AB的方程为：
即
因为直线AB是双曲线的切线 ， 故
即 的判别式△＝0
所以
因为
所以
故
为定值 。
例3. 若椭圆
与连结A（1 ， 2） ， B（3 ， 4）两点的线段没有公共点 ， 求a的范围 。
通常是分两种情况考虑：
（1）A、B两点都在椭圆外；
（2）A、B两点都在椭圆内 。
若从反面考虑则可避免分情况讨论 ， 计算简洁 。
解：先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围 。 易得线段AB的方程为：
由方程组
文章图片
得
故a 2 在[1 ， 3]内递增 ， 且x＝1 ， 3时的值分别为
故
因为a>0 ， 所以
故当椭圆与线段AB无公共点时
2. 极限思想
例4. 求已知离心率 ， 过（1 ， 0）点且与直线 l ： 相切于点， 长轴平行于y轴的椭圆方程 。
通常是设椭圆中心为（x 0， y 0 ） ， 可得椭圆方程 ， 并列出过已知点P的切线方程 ， 联立消参可求得椭圆方程 。
若按极限思想 ， 将点圆、点椭圆视为圆、椭圆的极限情况 ， 则可简化运算过程 。
解：由 ， 知
将点看作长轴平行于y轴且离心率的椭圆系， 当 时的极限情形（点椭圆） ， 则与直线 l ：相切于该点的椭圆系即为过直线 l 与“点椭圆”有公共点的椭圆系方程
又因为所求的椭圆过点（1 ， 0） ， 代入上式得
故所求椭圆方程为
例5. 过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点 ， 若线段PF、FQ的长度分别是p ， q ， 求 的值 。
通常是先列出PQ的直线方程 ， 求出直线PQ与抛物线的交点坐标 ， 再根据两点间的距离公式求出p与q 。
若按极限思想 ， 使直线PQ的斜率不存在 ， 则直线就是抛物线的对称轴 ， 此时P为顶点 ， Q在无穷远处 ， 用极限的观点得
所以
3. 利用平面几何的有关知识
例6. 过点P（-1 ， 2）作直线 l， 使点A（-3 ， 4）和点B（1 ， -2）到 l 的距离相等 ， 求 l 的方程 。
通常是先设 l 的方程为， 再利用已知条件求出斜率， 故 l 的方程为。 这样解 ， 不仅计算量较大 ， 而且漏掉了一解 。
若通过思维变式 ， 由平面几何知识可知： l 过线段AB的中点Q（-1 ， 1）或 l //AB ， 从而较简便地求得 l 的方程 。
解：因为点A、B到 l 的距离相等 ， 所以 l 或过线段AB的中点Q（-1 ， 1）或 l //AB ， 于是 l 的方程为
或
即或
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