数学|近30年无人解开的数学难题：终于有答案了
数学界几十年来的一个谜题，终于被解开了 。
这个猜想和初等数论中经典的佩尔（Pell）方程：x2-d*y2=1有关 。
（这里d是整数，求x、y也都是整数的解 。）
在此之前，经典佩尔方程的整数解情况已得到证明：
当d≤0或d为某大于0的完全平方数时，该方程有唯一解：x=±1，y=0；当d>0且不是完全平方数时，该方程有无数组正整数解 。
不过数学家们的探究精神一般不会止步于此 。
有人提出将等号右边的1变成-1，并将这个新的方程称为负佩尔方程 （ II型佩尔方程），结果整数解的情况立刻变得复杂了许多 。
时间拨到1993年，当时数学家彼得·史蒂文哈根（Peter Stevenhargen）提出了一个公式，对负佩尔方程的整数解情况给出一个精确的答案 。
而这个猜想提出后的30年，数学界一直无法证明它的正确性 。
但现如今，来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺（Carlo Pagano）和密歇根大学的皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），终于给出了猜想的“正解” 。
帕加诺的导师Hendrik Lenstra教授甚至对此评价说：
这个成果为数论的一个分支开辟了新篇章 。
数论中的经典：佩尔方程
在介绍负佩尔方程之前，让我们先来了解一下经典的佩尔方程从何而来 。
佩尔方程，其实与佩尔完全无关 。
这一理论最早由费马（Pierre de Fermat）进行深入研究，由拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）给出解决方案，但后来因为被欧拉（Leonhard Euler）误记为佩尔提出，就阴差阳错的流传下来 。
它的具体形式为：x2-d*y2=1
当d是正整数且不是完全平方数，则存在无穷多个解 。
举个例子，数学史上有个经典的“阿基米德群牛问题”：
太阳神养了一群牛，这些牛有公有母，分白色、黑色、黄色和花色四种颜色，给定一系列条件，求解牛的总数有多少？各种颜色的牛分别是多少?
这个问题起一直以来吸引了很多数学家的兴趣，最后经过一系列计算，被演化为求解一个佩尔方程：
x2-4729494*y2=1
2000年，伦斯查（Lenstra）完全解决了这个问题，他得出了阿基米德群牛问题的所有解：
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不仅解的数量多，牛的最小数量也让人惊呼：或许只有真·太阳神才能管理了 。
不同于佩尔方程，负佩尔方程的整数解情况要复杂得多 。
负佩尔方程
前文提到，负佩尔方程可表示为：x2-d*y2=-1；d为整数 。
显然，当d≤0，以及d为大于1的完全平方数时，方程无整数解 。
此外，负佩尔方程的整数解复杂性还体现在：
负佩尔方程中的很多d值都无整数解 。据已知规则得出，d不能是3、7、11、15的倍数等 。
但除了这些值外，并不是其他的d值就一定有整数解 。例如当d=3时，x2–3*y2=-1，无论沿着数轴看多远，都永远找不到解 。
但事实上，排除3、7、11、15的倍数后，并不是取其他的d值，负佩尔方程就一定有整数解 。
给定d值后，首先需要求出负佩尔方程的基本解 。
对负佩尔方程的求通解可使用这个公式：
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其中，这里的n为任意正整数；a和b则是负佩尔方程的基本解，并有如下等式：
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x0和y0就是经典佩尔方程的基本解 。
更多与之相关的细节研究可参考论文：
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研究者简介
最后，来看看这两位证明这个30年前猜想的数学家们吧——
卡罗·帕加诺（Carlo Pagano），是加拿大康考迪亚大学的助理教授，主要研究方向是数论 。
此前分别获得了格拉斯哥大学和马克斯·普朗克研究所的数学博士后学位，博士毕业于莱顿大学数学专业，导师是Hendrik Lenstra 。
皮特·科伊曼斯（Peter Koymans），目前正在密歇根大学攻读博士后，主要研究方向是数论及其周边领域 。
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