数学|一次家庭作业意外搞定40年前的数学猜想 只研究了几个礼拜( 二 )
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几周就证明了一个“加强版”
那篇近20年前的论文 ， 由一位名叫Ernie Croot的数学家撰写 ， 2003年发表在数学领域顶级期刊《数学年刊》上 。
他解决Erd?s-Graham问题的“基础版本” 。
把所有整数随机分配到不同的桶里 ， 至少有一个桶必须包含一组整数 ， 其倒数和等于1 。
Bloom仔细阅读后发现 ， Croot的方法实际上比最初看起来更强大：“所以我研究了几周 ， 这个更强大的结果就出来了 。”
Bloom给出的结论是 ， 并不需要把整数分成若干个有限集合 ， 只要集合满足“正密度”的条件 ， 那么这个集合就存在一组整数倒数和为1 。
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所谓“正密度”是指某一组整数在全体正整数里所占的比例 ， 比如偶数的密度是0.5 。
假如有一组整数集合记作A ， 在前n项中不大于n的项记作α ， 当n趋于无穷大时 ， α/n极限就是叫做A的自然密度 。
而Bloom提出而条件是密度大于零即可 ， 无论这个密度多低（10%、1%、0.0001%甚至更低） ， 这显然比把整数分成有限份的条件更加苛刻 。
嗯 ， 充分说明哪怕是“读论文”这种科研作业 ， 也要认真一点 ， 说不定读着读着灵感就来了（手动狗头）
【数学|一次家庭作业意外搞定40年前的数学猜想 只研究了几个礼拜】作者介绍
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Thomas Bloom ， 目前在牛津大学进行数学方面的研究工作 ， 获得过英国皇家学会大学研究金 ， 后者专门用于给各领域杰出年轻科学家提供科研资金 。
Bloom曾于布里斯托大学获得博士学位 ， 并在剑桥大学进行过博士后相关工作 ， 本科毕业于牛津大学数学与哲学专业 。
在进行这项研究之前 ， 他也曾经和获得过“数论界最高奖”柯尔奖的牛津大学教授James Maynard合作 ， 完成过一篇关于无方差集的论文 。
One More Thing
对于任意有理数 ， 我们都可以用简单的算法找到古埃及分数表示 。
最常用的便是贪心算法 。
以7/15为例 ， 我们先找到最接近它的单位分数1/3 ， 得到：
7/15 = 1/3 + 2/15
接着寻找最接近剩余项2/15的单位分数 ， 即1/8 。依次类推 ， 直到剩余项也是单位分数为止 。
7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120
怎么寻找最接近的单位分数呢？将分母除以分子并向上取整即可 。
以下是Python版的代码：
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你能写出其他语言的版本 ， 或是写出其他古埃及分数算法的代码吗？
参考链接：
[1]https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/
[2]https://twitter.com/thomasfbloom
[3]https://www.youtube.com/watch?v=yBtluQoghXA
[4]https://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/
[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Graham_problem
[6]http://thomasbloom.org/aboutme.html
[7]https://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04
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