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数学|圆的知识与此内容相结合，题目难度大增，构造全等三角形是关键


数学|圆的知识与此内容相结合，题目难度大增，构造全等三角形是关键
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数学|圆的知识与此内容相结合，题目难度大增，构造全等三角形是关键
各位朋友 ， 大家好！近来一段时间 ， 数学世界将持续为大家分享初中数学题 ， 希望笔者的分析与讲解能够为广大初中生学好数学提供一些帮助！今天 ， 数学世界分享一道有关圆与全等三角形等知识相结合的几何综合题 。
一直以来 ， 数学世界都是精心选择一些数学题分享给大家 ， 目的是希望由此激发学生们对数学这门课程的兴趣 ， 并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来 ， 数学世界就与大家一起来看题目吧！
例题：（初中数学题 圆与全等三角形相结合）如图 ， 已知△ABC内接于⊙O ， AC=BC ， 弦CD与AB交于E ， AB=CD ， 过A作AF⊥BC于F．
（1）判断AC与BD的位置关系 ， 并说明理由；
（2）求证：AC=2CF+BD.
知识回顾
圆周角定义：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 。
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 。
定理推论：在同圆或等圆中 ， 同弧或等弧所对的圆周角相等 ， 相等的圆周角所对的弧也相等 。
分析：（1）由弦相等得到弧相等 ， 再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等” ， 证明∠ABD=∠CAB ， 即可得出结论：AC∥BD．
（2）根据需要证明的结论AC=2CF+BD ， 以及这三条线段的特点 ， 作出恰当的辅助线构造出全等三角形 。 在BF上取一点H ， 使得FH=FC ， 连接AH ， AD．这样CH=2CF ， 只要证明△ABH≌△ABD ， 便可以推出BD=BH ， 于是可得结论．
请大家注意 ， 想要正确解答一道数学题 ， 必须先将大体思路弄清楚 。 下面 ， 我们就按照以上思路来解答此题吧！
解答：（1）解：AC与BD的位置关系是：AC∥BD．
理由：连接BD．
∵AB=CD ，
∴弧AB=弧CD ，
∴弧AD=弧BC ， （减去公共弧BD）
【数学|圆的知识与此内容相结合，题目难度大增，构造全等三角形是关键】∴∠ABD=∠CAB ， （等弧所对的圆周角相等）
∴AC∥BD．
（2）证明：在BF上取一点H ， 使得FH=FC ， 连接AH ， AD．
∵AF⊥CH ， FC=FH ，
∴AC=AH ， （垂直平分线的性质）
∴∠ACH=∠AHC ，
∵∠ACH+∠ADB=180° ， （圆的内接四边形对角互补）
∠AHC+∠AHB=180° ，
∴∠ADB=∠AHB ，
∵弧AD=弧BC ， （已证）
∴AD=BC ，
∵AC=AH ， AC=BC ，
∴AD=BC=AC=AH ，
∴AD=AH ， 弧AD=弧AC ，
∴∠ABH=∠ABD ，
∴△ABH≌△ABD（AAS） ，
∴BD=BH ，
∴AC=BC=CF+FH+BH=2CF+BD ，
即AC=2CF+BD.
（完毕）
这道题属于综合题 ， 考查了圆周角的知识、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质 ， 解题的关键是正确添加辅助线 ， 构造全等三角形解决问题 。 温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法 ， 欢迎大家留言讨论 。


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