数学|数学：大道至简 驾驭无穷
***-****海外版
本文插图
何小亚肖像画 。本栏目画家张武昌绘
图二
数学是什么？要真正回答好并不容易 ， 数学家对此也有争论 。 笔者无意介入 ， 只是从科普的角度阐释一下 ， 数学玩什么 ， 如何看待数学 ， 其价值何在 。
数学玩数量关系、玩空间形式、玩模式 。 追根溯源 ， 代数系统的产生基于数系的发展 ， 而数的来源 ， 中国道家认为 ， 道生一 ， 一生二 ， 二生三 ， 三生万物 。 一是单点集合的标志 ， 一生于道 ， 而道即玄 ， 即深奥、神妙 。 几何系统最基本的元素是点 ， 点动成线 ， 线动成面 ， 面动成体 。 几何中的点是抽象的 ， 可以标明位置 ， 但没有大小、范围 。 “一”和“点”在真实世界里是不存在的 ， 由它俩演绎出来的代数和几何在真实世界里也是不存在的 。 数学世界是人类思维的存在 。
我认为 ， 数学追求的是精确、严谨、简洁、概括、统一 。 这是数学独有的、有别于其他学科的特点 。
离开数学的精确 ， 无法真正定义“多”“少”“远”“近” 。 人眼最多能分辨0.1毫米的差异 ， 数学的精确可以使我们超越感知器官的局限 ， 更好地认识微观世界 。 如果将短线段上的点与长线段上的点建立一一对应关系 ， 那么它们上面的点的数量就是相同的 ， 尽管这看起来如此不可思议 。
数学本质上是从定义、公理、公设出发 ， 按照逻辑推理规则 ， 得出的一套演绎系统 。 数学的严谨表现在两方面：一是举反例的思维方式 ， 这是数学不同于社会科学和实验科学的一大特点；二是其逻辑性 ， 包括形式逻辑和辩证逻辑 。 在形式逻辑方面 ， 要求概念和判断必须保持一致 ， 判断要有充分根据 ， 不自相矛盾 ， 不模棱两可 。 在辩证逻辑方面 ， 要求抓住数学中各式各样的矛盾(已知与未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲……)进行分析转化 。 转化的策略一般有：化陌生为熟悉、化繁为简、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化…….
追求简单化是数学的灵魂 ， 从一定意义上来说 ， 数学是因为人类追求简单而诞生的 。 为节约时间和人力物力 ， 人类在树干上刻痕计数 ， 用0 ， 1-9数字、进位制以及小数点 ， 就可以表示超大的数 ， 无限接近0的数；加法就是计数的简化；乘法就是复杂加法的简化 。 比如 ， 写出10000个2相加 。 若写10000个2 ， 9999个加号 ， 麻烦无比 ， 怎么办？简化它 ， 写一个2 ， 把加号旋转45度 ， 取名为乘号 ， 于是“10000个2相加”就简化为“2×10000” ， 这就是乘法 ， 太简洁了 。 对初中生来说 ， 乘方不是新运算 ， 小学时就学过 。 乘方就是对复杂乘法的简化 。 比如 ， 写出“10000个2相乘” 。 若写10000个2 ， 9999个乘号 ， 麻烦无比 ， 怎么办？简化它 ， 写一个2 ， 乘号也不用了 ， 在2的右上角写上“10000” 。 这就是乘方 ， 太简洁了 。 有了乘方 ， 知道幂和指数 ， 求底数就是开方；知道幂和底数 ， 求指数就是求对数 。
数学追求至简的另一个典型是自然数的立方和公式：(见图二)
对于加法运算次数 ， 公式两边都一样 。 但对于乘法 ， 左边要算2n次 ， 而右边却简化为只算一次 。 想象一下 ， 如果n=1亿亿亿 ， 那么左边要算2亿亿亿次乘法 ， 那要占据多少内存 ， 要花多少时间和算力 ， 而右边就只需算一次 。 真是大道至简!
数学最精彩的是概括性 ， 即以一个有限的模式驾驭无穷的具体 ， 让人叹服 。 请看平面向量基本定理：想象一下平面上有多少个向量？向量有长有短 ， 长至十万八千里 ， 短至1纳米 ， 还有无穷无尽的方向 ， 这么多无穷无尽的向量如何掌控 ， 太复杂了 。 不过 ， 所有向量都逃不出数学的手心 。 对于平面上的任意一个非零向量 ， 在这个平面上随意选定两个不共线的向量i和j ， 分别过起点A和终点B作直线a平行于i ， 直线b平行于j ， 因为i和j不共线 ， 所以直线a、b必然交于一点 ， 根据向量的三角形法则和数乘向量就可得出AB=mi nj 。 这么多无穷无尽的向量居然可以只用两个不共线的已知向量i和j线性表示 。 为了更简单 ， 可以取i和j为正交的单位向量 。 平面向量基本定理就是这样简单、强大 ， 强大到以一个有限的模式驾驭无穷的具体 。 平面向量基本定理就是数乘向量的推广 ， 而且还可以推广到三维空间 ， 其方法、结果形式几乎是一样的 。 数学是联系的、统一的 ， 代数中的统一 ， 几何中的统一 ， 代数与几何的统一 。
推荐阅读
- 怎样不秃顶|期中温习: 二年级上册数学加法、减法和乘法应用题, 附谜底
- 南京大学|重大数学发现，一南京大学大学生发现一新最简圆周率公式
- 证券日报|从“四通八达”走向“智慧交通”湘企奔跑在交通科技大道上
- 数学|很讨厌数学的我，数学是怎么高考考到130
- 数学|2020丘成桐数学竞赛，不只有清华、北大数学强，这些学校也很厉害
- 穿搭|周冬雨可驾驭多种造型，衬衫配短裙也是青春爆棚，元气少女既视感
- 可盐可甜的即热饮水机，鸣盏即热茶饮机轻松驾驭传统茶和新茶饮
- 居委会大爷|零基础入学如何成为学霸之小学课内数学学习建议
- biu时尚|范冰冰这身全黄的造型，换成一般人真驾驭不了，不仅显黑还有点土
- 上海崇明|“直达”花博园区、漫步“滨江大道”！崇明这些道路预计年底前完成“升级”