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追梦娱乐圈|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉出丑( 三 )


拉普拉斯先是回顾了不断压扁椭圆 ， 通过取极限来计算物体落向引力中央的运动规律的方法 。 接下来 ， 他夸大：“朝向焦点的椭圆运动（原文如斯）与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动有着本质的区别 。 在前一种情况下 ， 物体会越过焦点 ， 然后会飞到和起始位置同样远的地方；后一种情况下 ， 物体会经由焦点 ， 然后回到起始点 。 若在远日点（点A） ， 物体具有一个运动轨迹切线方向的速度 ， 不管这个速度多小 ， 它都会引起这种差异 。 但这种差异不会影响物体抵达焦点所用的时间 。 ”
不论是原文 ， 仍是把笔误“椭圆运动”更正为“直线运动”之后 ， 这段话都显得十分恍惚 。 靠着不指名道姓地宣称达朗贝尔（前一种情况）和欧拉（后一种情况）都是对的 ， 拉普拉斯好像完成了一个豪举 ， 调和了不可调和的矛盾 。 实际上 ， 固然他对达朗贝尔的结论没有任何异议 ， 但是他使用了欧拉的证实方式 。 他引入了无限扁的椭圆这一有趣的概念 ， 意思就是说 ， 这是一种我们能想象到的最扁的椭圆 ， 但它没有彻底变扁 ， 没有变成欧拉所说的线段 。 拉普拉斯始终在他的言论中保持着一种模棱两可 ， 他说“物体达到焦点” ， 但严格来说物体不会经由焦点 ， 由于它的轨迹是一个椭圆 。 最后 ， 这个惊人的言论固然有显著的笔误 ， 但是人们以为他与达朗贝尔的观点是一致的 ， 后者的结论在很长时间内都是主流观点 。
在《数学史》（Histoire des mathématiques ， 1758）的第二卷中 ， 让·艾蒂安·蒙蒂克拉（Jean-tienne Montucla）也对质点P向引力中心点O直线运动的题目进行了研究 。 他提到了牛顿 ， 但没有提及欧拉 ， 他也以为这种运动是一种极限情况下的椭圆运动 ， 并总结道：“物体不会越过（引力中央） 。 ”但是又他增补道：“我们也能确定它不会回头 。 由于没有任何能让它反向运动的因素 。 ”蒙蒂克拉明确地反对了欧拉的结论 ， 但是他也早就表达了对达朗贝尔结论的反对 ， 由于在他看来 ， 到达点O的质点P会停在那里 。
这个令人意想不到的观点 ， 甚至比欧拉的观点更让人困扰 ， 由于这意味着要在瞬间消除一个理论上无穷大的速度 。 实际上 ， 蒙蒂克拉发现 ， 假设与点O相距r的点P在一个与r2成反比的力f的作用下 ， 不断靠近点O ， 那么当r趋近于0时 ， 它的速度V会比这个力f增长得慢 。 由于 ， 这个速度仅与r成反比 。 最后这一步论证是错误的 ， 由于速度V实际上近似地与√r成反比 。 不外这一修正并不影响蒙蒂克拉的结论 ， 也就是说 ， 在点O无穷大的引力和速度的较量中 ， 引力占据了优势 。 我们预测 ， 在蒙蒂克拉的时代 ， 很少有人能够接受这种可能 。 然而 ， 在随后的一个世纪他的结论被再次提起 ， 依据是点P经由点O后速度变成了虚数 ， 不外这一论证也被用来支持欧拉的结论 ， 结果这个虚数速度是虚假的 ， 由于计算出了错 。
点状黑洞
这些理论讨论一直乏人关心 ， 由于引力作用下的直线运动 ， 在天文学上没什么实际应用价值 ， 所以力学研究者并不放在心上 ， 更别说这个物体落到引力中央的纯理论题目了 。 所以这个题目的终极谜底很晚才被揭开 ， 直到1930年 ， 保罗·潘勒韦（Paul Painlevé）才在《巴黎综合理工大学力学教程》（Cours de mécanique professé à l’cole polytechnique）的第一卷中做出解释 。
对于以无穷大的速度到达引力中央的运动质点 ， 他指出 ， 在这一瞬间之后 ， “题目就无法继承讨论下去了 。 ”他没有像蒙蒂克拉那样尝试用数学方法证实质点会住手在引力中央 ， 尽管后者看似在所有人之前找到了准确谜底 。 质点会住手本身就是力学理论的一部分 ， 而潘勒韦宣称在动点到达引力中央之后 ， 经典力学就无能为力了 。 对于这一题目 ， 点必需在引力中央住手 ， 而所有对于此后运动情况的预测都不具有科学价值 。


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