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追梦娱乐圈|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉出丑( 二 )


达朗贝尔的谜底
当时法国最伟大的数学家达朗贝尔 ， 在他的《数学手册》（Opuscules mathématiques ， 1780）第七卷中论述了这一棘手的题目：“很显然 ， （质点P）会越过（引力中央） ， 并不断阔别 ， 直到它与点O间的间隔与它开始运动时的间隔相等 。 之后 ， 它将重复这个过程 ， 不断振荡 。 ”也就是说 ， 运动物体P会在直线方向上以引力中心点O为中央往返振荡 。 实际上 ， 达朗贝尔刚接触到该题目 ， 就立即毫不迟疑地得出了这样的结论：运动物体将会越过引力中央继承沿直线运动 。 他只从动力学方面考虑 ， 因为物体在点O获得无穷大的速度 ， 这个运动必将持续下去 。 但他没有考虑到 ， 在点O ， 引力也会增加到无穷大 。
追梦娱乐圈|这个“不科学”的题目，曾让大数学家欧拉出丑
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让·勒朗·达朗贝尔以为 ， 在点A开释的质点受到引力中央O的吸引而运动时 ， 会穿过点O ， 继承运动到点A关于点O的对称点A" ， 然后再掉头回来 ， 在点A和点A"之间往返振荡 。
在1780年出版的著作中 ， 达朗贝尔给出了质点振荡这个谜底 ， 但在统一本书中他也先容了欧拉得出的另一个谜底 。 欧拉 ， 这位18世纪最闻名的瑞士数学家先于他的法国同行 ， 得出了一个达朗贝尔本身没有想到 ， 但也不信服的结论 。 后者在书中写道：“欧拉先生在《力学》（Mécanique）一书中提出 ， 一个直接落向（加速中央O点）的物体 ， 当中央对它的作用力与间隔的平方成反比时 ， 会在到达（O）后原路返回 。 但很显然 ， 这位伟大的几何学家在这点上是错误的 。 ”
毫无疑问 ， 当时与欧拉关系疏远的达朗贝尔很乐于否定欧拉的结果 ， 他称这个结论很荒谬 。 欧拉是怎样得出这个结论的 ， 确实让人好奇 ， 因它太反直觉了 ， 竟然以为物体会在速度无穷大时忽然掉头 。 这个结论没有考虑两个引起争议的无限大量 ， 不论是质点P在点O时沿着落方向的速度 ， 仍是它在这点受到的引力 。
欧拉的奇异结论
借助牛顿曾经用过的方法 ， 欧拉在用拉丁语编写的《力学》（Mechanica ， 1736）的第一卷中探讨了这一题目 。 首先 ， 他假设在初始时刻 ， 质点P位于点A ， 且有一个垂直于OA方向的初速度VA ， 因此它的移动轨迹将会是一个椭圆 ， 长轴为AA" ， O是其中一个焦点 。 之后 ， 欧拉假设垂直于OA的速度VA不断减小直到零 。 这样 ， 椭圆就会不断变扁 ， 同时点A"会不断接近点O ， 当VA减为零时 ， 椭圆会与线段OA重合 。
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莱昂哈德·欧拉提出了一个与达朗贝尔不同的结论：他首先设想质点有一个垂直于OA且不为0的速度VA ， 因此它的运动轨迹会是一个焦点为O ， 长轴为AA"的椭圆 。 接着 ， 他减小速度VA ， 直到它变成0 ， 这样椭圆就会不断变扁 ， 这时 ， 点A"就会不断接近点O 。 当椭圆扁到极限时 ， 椭圆轨道上的运动就会变为点A和点O之间往返的直线运动 ， 完全不一样了 。
通过把轨道的几何外形和点P的运动速度推向极限 ， 欧拉得到了这个奇异的结论 。 当然 ， 他这个取极限的方法也没什么根据 。 而且就像达朗贝尔那样 ， 欧拉也设定O是抽象的几何点 ， 没有任何其实物体 ， 而要有个物体的话 ， 至少在某种程度上能够证实点P回弹是公道的 。 此外 ， 这个解释显然给引力中央赋予了一种斥力 ， 一些牛顿力学的反对者指责椭圆运动中也存在这样的悖论 。 他们不理解 ， 为什么每颗行星都会花费一半的时间阔别吸引着它的太阳 。
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拉普拉斯：模棱两可的调和
像欧拉和达朗贝尔这样两个当时最杰出的理论学者 ， 却在这样一个看起来十分普通的力学题目上得出了相反的结论 。 显然 ， 这个题目并不简朴 。 但毫无疑问 ， 他们的子弟很快会尝试终结这场科学争论 。 1799年 ， 皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace） ， 这位世纪之交的重要数学家在他的《天体物理》（Traité de mécanique céleste）一书中阐述了他的观点 。


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