数学是对理解的追求，而不仅仅是追求计算
作者：Dr.Dilts俄勒冈大学数学博士 ， 其埃尔得什数即是3 。
翻译 ， MathIsAll ， 哆嗒数学网翻译组成员 。
关注哆嗒数学网天天获得更多数学趣文
大多数人的数学观念是在小学时被灌注贯注的 。
文章图片
根据我的经历 ， 小学数学是这样的：老师说我们需要计算一个东西 。 然后他展示了如何计算这个东西 ， 计算有七个差别不大的变形 。 你的家庭作业是计算其中的六种变形 。 考试就考七个中的其中五个变形 。
文章图片
十年后 ， 大多数人以为数学就是计算 。 因为采用死记硬背的方法 ， 许多人都觉得数学就是一些一成不变的计算技巧 。 假如你执行一套晦涩的、难以理解的步骤 ， 你将得到一个虚幻的“准确谜底” 。 你必需按照特定的步骤算谜底 ， 假如你忘了这些解题步骤 ， 就只能依赖老天爷帮忙了 。 于是 ， 你只能陷入无穷的绝望之中 。
文章图片
当然 ， 作为来自远古聪明 ， 他们相信所有的数学都来自高不可攀的地方 。 它冷峻 ， 深隧 ， 完美无瑕 。
——但正真的数学不是那样 。
那么 ， 到底什么是数学？
计算是一个有用的工具 ， 但绝对不是数学的全部 。
数学是对理解的追求 。 就像任何好的史诗幻想系列一样 ， 它好像永远不会完成 。
我们数学家所寻求的理解是一种非同寻常的理解 。 如果说科学的目标是描述和理解四周的宇宙“是什么”的话 。 那么 ， 数学家试图去理解为什么“必需是” 。
究竟 ， 一个数学家所问的题目通常是可能根本不存在的事物 。 你见过一条完全笔挺的无穷长的细线吗？或者大小刚好是90度的角？但是 ， 假如我有一个完美平面直角三角形 ， 我知道边长有一定的关系a+b=c 。
当然 ， 我们可以数数 ， 数出37头奶牛 ， 但是奶牛是否关心这个37是个质数？但是37的确是质数 ， 因此假如有多个人要分享这37头奶牛 ， 那么不可能做到平均分配 。
作为一个数学家 ， 我时常这样表述的我的工作——试图去发现连上帝都做不到的事情 。 即使是全能的上帝也无法创造出一个其边长不听从勾股定理的平面直角三角形 。 上帝也不能把37头奶牛平分给多个人 。
文章图片
决定“必需是”的基础是数学的定义和公理 。
定义和公理是不同的 ， 但又非常密切相关 。
定义描述了我们谈论的事情 。 例如 ， 欧几里得几何中 ， 直线（相对于曲线）可以被定义为“各点看齐的线”(liesevenlywiththepointsonitself——几何原本) 。
文章图片
公理描述了我们可以用定义“做什么” 。 这些往往是非常基本的 ， “显然”的事情 。 例如 ， 对称公理说：“假如A=B ， 那么B=A 。 ”在这个例子中 ， 你可以把这公理看作是你可以做的事情（这里你可以做的事情是交换等式两边） ， 或者你可以把这条公理看作是在对两个东西相等在做定义 。
在这个基础之上 ， 数学是建立在逻辑上的 。 给定定义和公理 ， 某些结论是必然的结果 。 这些结论我们称之为定理、引理或命题 。
由于数学是以这种权势巨子的方式教授的 ， 所以数学的定义和公理好像在某种程度上是“牢不可破” ， 它们不是人类的造物 。 你会以为公理和定义是数学家正在寻找的“必需是”的一部分 。
在某种程度上,这可能是对的,但我以为也不全是这样,数学肯定不是这样做的 。
当你读一本教科书时,上面会泛起被以为重要的定义和公理的最新思索 。 但这在一定程度上掩盖了一个事实,即需要几百年甚至几千年的时间来决定“这些公理”应该成为构成数学的基础 。
数学会演进 ， 数学会变化 。 今天使用的定义和公理与牛顿使用的定义和公理不尽相同 。
文章图片
这里关于牛顿的故事 ， 实际上给出了数学是在变化的一个好例子 。
牛顿以及莱布尼兹在1670年左右发明了微积分 。 在解决物理和数学中的很多重要题目时 ， 微积分立即证实了它是非常有用的 。
文章图片
但是牛顿的微积分并不是建立在我们今天以为的严格的基础之上的 。
文章图片
为了解释他们的设法 ， 牛顿和莱布尼兹都使用了一些“无穷小”的概念 ， 说它们是“无穷小的数” 。
文章图片
无穷小在对微积分的直观解释中非常有用（当我自己教微积分时 ， 我常常非正式地使用它们） 。 因此尽管人们接受了牛顿和莱布尼兹一些结论的证实 ， 但仍旧有些人对“无穷小的数”的观点感到不安 。
但跟着数学家深入研究微积分的思惟 ， 很显著无穷小量的论证并不完善 。 有一些重要的定理无法被精确证实 ， 由于微积分的基础没有得到足够严谨的证实 。
文章图片
因此 ， 19世纪的一个主要的数学课题是证实微积分的“合理性” ， 并确保微积分的基础是准确的 。
这涉及发明新的定义 。 例如 ， 微积分的一个枢纽思惟就是“极限” 。 不太严谨的说 ， 极限就是要回答“当输入接近某个数时 ， 输出的数接近哪个数？”
对极限的直觉并不难题;你输入的数越来越接近你想要的数时 ， 看看输出是否接近另外某个数 。 但是 ， 我们今天使用的极限ε-δ定义 ， 直到1820年才由柯西引入 。
文章图片
数学不是静态的 ， 我们使用的公理和定义不一定是天然的待在某处 ， 我们拿来就用 。 当我们寻求更深入的理解时 ， 我们经常会发现我们早先的理解是不完善的 ， 甚至是不准确的 ， 我们于是开始寻求修复基础的办法 。 这种情况一次又一次地发生 ， 以达到我们“牢不可破”现代数学思惟 。
文章图片
总而言之 ， 数学是寻求理解“必需是”的题目 。 但我们试图理解的概念并非一成不变 。 数学的对象是由人定义的 ， 当我们更好地理解它们时 ， 我们的定义和公理就就在变化中建立了起来 。
【数学是对理解的追求，而不仅仅是追求计算】关注哆嗒数学网天天获得更多数学趣文
推荐阅读
- 大海说军史|34名特种兵集体叛变，杀害上千名军警，少将：军队已不是对手
- 对你没感觉 女生的潜台词 你能理解吗
- 高考班里倒数第一631分，数学偏科却145分，衡水中学让人又爱又恨
- 王者荣耀|王者荣耀：位移多伤害高，上官婉儿伤害正确理解，基础连招教学
- 道路养护！商户：理解，感谢！
- 环球网|蓬佩奥放言没人能阻止美对伊实施“多边制裁”，网友嘲讽：你没理解什么叫“多边”
- FOF|歌斐资产CEO殷哲：理解新周期 重塑资产价值
- 元气宅玩家|元气骑士：实力落差过大，神器沦为笑柄，凉屋是对紫武有偏见吗？
- 王者荣耀|王者荣耀黑驴：玩黄忠的4个误区，咋理解大招边缘化伤害衰减40％
- 异步事件驱动的网络应用程序框架：Netty（DotNetty）原理解析