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天文在线 要与地球保持多近的距离才会受到其重力的影响？

物体与距地球需要保持多远的距离 ， 可以受到地球重力场的影响并以速度V远离地球（质量M）？
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感谢你的提问 ， 这是一个非常有趣的问题 。
有多种方法可以解答你的疑问 ， 但最简单的是利用“双曲线飞越”假设 。 当我们假设某物体已非常接近地球 ， 以至于地球的引力影响了整个太阳 。 这颗小行星相对于地球的速度称为无穷远处的速度 ， 由于该物体没有边界 ， 即具有正能量 ， 其轨迹将是双曲线 ， 焦点位于质心（如果物体具有边界 ， 即具有负能量 ， 如人造卫星 ， 则为椭圆；如果物体具有足够的能量以脱离地球的引力 ， 则为抛物线 。 椭圆 ， 圆 ， 抛物线和双曲线称为圆锥截面 ， 因为可以通过用平面“切割”圆锥来获得） 。
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【天文在线 要与地球保持多近的距离才会受到其重力的影响？】任何椭圆 ， 抛物线或双曲线轨迹的空间状态都需要用六个参数来描述（三维空间任意一个物体 ， 你都需要用六个常数去描述其空间状态 。 三个用于描述位置 ， 三个用于描述速度） 。 为解决我们的问题 ， 在这里只需要引入其中两个参数 ， 即偏心率和半长轴 。 偏心率用于描述圆锥截面的“开放”程度 ， 圆=0 ， 椭圆<1 ， 双曲线>1 。 离心率越大 ， 双曲线就越“开放” 。 半长轴用于描述轨道的大小 ， 圆的半长轴是其半径；椭圆的半长轴对应较长轴的长度 。
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由于双曲线是一个开放的轨迹 ， 难以将其可视化 。 其在数学上定义为 ， 双曲线上的任何点到两个固定点的距离之差称为焦距 ， 等于2*a（对椭圆而言 ， 等于距离之和） 。
如果我们称最小距离为q ， 则在任何圆锥截面上都能表示出该距离 。
(1)q=a(1-e)
由于e>1并且q必须为正数（距离不能为负数） ， 这就是为什么双曲线a在天体力学中通常为负数的原因 。 为计算出q值 ， 我们首先需要知道a和e的表达式 ， 这些表达式包括了无穷远处的速度 ， 碰撞参数和地球的质量 。
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假设来自太阳的扰动可忽略不计 ， 该运动是平面的 ， 并且角动量（即粒子位置与其速度的乘积）得以保留 。 因此 ， 在所有飞越过程中 ， 其初始值为一个常数 。
如果我们将D称为冲击参数 ， 那么在t=0时的角动量h将由下式给出：
(2)h=vinfinityD
其方向沿着z轴的指向 。 这可能表明 ， 对于任何圆锥形轨道（椭圆形 ， 双曲线或抛物线 ， 举例参见Danby1998 ， 天体力学基础 ， Ed 。 Willmann-Bell ， 第78-82页）h由下式给出：
(3)h=sqrt{μ*a*(1-e2)}
其中μ是引力常数乘以地球质量m2的乘积 。 联立方程（2）与（3）可得m2 ， vinfinity ， D（已知）与未知数a和e之间的关系 ， 即（4）sqrt{μ*a*（1-e2）}=vinfinityD
此时我们需要另一个方程 ， 这可能量守恒定律得到 。 如果我们考虑小行星的质量为1 ， 任何情况下其能量在都可由下式给出：
(5)E=-μ/r+v2/2
即势能和动能的总和 。 在t=0 ， v=vinfinity且与中心的距离r很大时 ， 第一项可忽略不计 。 对于任何轨道 ， 其能量也可以定义为（参见Danby ， 第63-65页）：
(6)E=-μ/2a
我们最后联立方程（5）和（4）（无穷大）可得：
(7)a=-μ/vinfinity2
（这是一个负数 ， 因为它为双曲线） 。 将（7）代入（4） ， 可得：
(8)e2=1+vinfinity^4*D2/μ2
最后 ， q由下式给出：
(9)q=-Gm2/vinfinity(1-sqrt{1+vinfinity4*D2/μ2}
这是你提出的问题所需要的表达式 ， 它由地球质量 ， 无穷远处的速度和冲击参数得出 。


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