数学|电影院今天复工，应该如何排座位？这是个数学家研究了几百年的问题

晓查编译整理
量子位报道 | 公众号 QbitAI
今天，国内电影院在停业将近半年后终于复工了。为了保持合理的隔离距离，国家电影局规定每场电影的上座率不得超过30% 。
那么问题来了：
如果有一间要影厅要复工，在保持安全距离的情况下，如何才能尽可能多的安排观影人群？
这个问题，在当初办公室复工的时候也同样适用。

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我们先来把这个问题转化成一个几何问题：
把每个人所在的位置看做圆心，隔离距离的一半（也就是3英尺）为半径画圆。怎样才能让这些圆排列得最密。
这个问题在现实中似乎有个最佳答案，我们可以买来一箱汽水，看看厂商怎么排列一罐罐圆形的汽水的。

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上面可乐罐的这种排列方法叫做“正方形堆积” ，因为将每个圆的圆心连接起来是正方形。

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我们来算算这种饮料包装究竟能占据多少比例的空间。

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假设上图中圆的半径是r ，那么正方形的边长就是2r 。圆的面积是πr2 ，正方形的面积是(2r)2 。
那么这种排列方法所占的面积比例为：

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也就是说平面有78.54%的面积被圆覆盖，这是正方形堆积的密度。难道这就是效率最高的排列方式了吗？
不难发现，其实还有一种排得更紧密的方法，将一排的可乐滑动到另一排的缝隙中，这种排列方式被叫做“六角堆积” 。

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这样圆之间的缝隙更小，排列的密度也更高了。实际情况怎样，我们来算算。
每个六角形内都是有1个整圆和6个1/3圆，所以相当于有3个整圆。

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假设圆的半径是r ，六边形边长是s=2r ，根据六边形面积计算公式：

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而一个六边形内共有3个整圆，所以圆占据的面积是：

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可以看到，填充率一下子提升到了90.69% ，六角比正方形排列的效率更高。实际上也没有其他方法比六角排列的填充率更高了。
但这个显而易见的结论要获得严格的数学证明却非易事，包括拉格朗日、高斯等数学大神为之付出大量努力，直到1940年代，这个问题才得到严格证明。
【数学|电影院今天复工，应该如何排座位？这是个数学家研究了几百年的问题】既然六角排列的效率更高，为何饮料要采用正方形排列？那是因为饮料外包装箱一般是方形，如果用六角排列，反而无法照顾到边角。
倘若边角占据的面积较小，那么90.69%相比78.54%带来的提升还是能把边角浪费的空间弥补回来。
到了三维空间，情况更为复杂。如何让球体排列的密度更高，需要一层一层来。
第一层，我们用六角堆积的方式占据尽可能多的空间：

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每3个球体之间都有1个孔隙，按照二维空间的方式，把第二层球体插入到孔隙中。但是我们不可能把每个孔隙都放上球体，因为相邻孔隙之间的距离小于球体的直径，我们只能间隔插入。就像下面这样：

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接下来第三层怎么排列，有两种选择：
一种方式是堆积六角堆积（HCP），就是填补如下的孔洞：

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这样就相当于第三层球位置与第一层一样。从上面俯看下去，第一层和第三层重合，也就是ABABAB……的排列方式。

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另一种是面心立方（FCC），填充以下位置：

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从上面俯看下去，一二三层互不重合，也就是ABCABC……的排列方式。

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如果你小时候垒过玻璃球，那么一般都会垒成面心立方。
巧合的是，两种排列方式占据的空间比例都是

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虽然填充空间的比例一样，但这在物理和化学中却是两种完全不同的排列方式。
如果把球体看做是原子，那么怎么排列就决定了这种物质的晶体结构，也会影响其物理化学性质。
六角堆积和面心立方是不是三维空间中最密集的堆积方式呢？
早在1611年，著名天文学家开普勒就提出了这种猜想，但是直到1998年，才由数学家托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）提供完整的证明。
至此， 2维、3维的情况都已经完全解决，但是在维度更高的空间里，哪种方式的排列密度最高，数学家们一直没有解决，即使只是到4维。
直到2016年传来了一个好消息， 8维和24维空间的最密堆积问题已经被一位乌克兰女数学家Maryna Viazovska证明。

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为何偏偏是这两种维数？因为随着维度的增加， n维球与它的外切立方体的体积之比也越来越小。这一点有个直观的理解方法：
n维立方体有2^n个角，而边角是球体填充不到的地方，边角数会随着维度增加，所以球体填充率降低也在意料之中。
8维和24维中的球体收缩得恰到好处，让球体之间的的孔隙正好能被另一相同同半径球体填充，从而获得了一种特殊的超密堆积。
现在科学家已经解决了1、2、3、8、24维的最密堆积情况，还有更多的维度等着他们去探索。

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