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暖栀|解决了一个困扰学界数十年的难题，她用读博的业余时间( 二 )


这些奇怪的球面并不是四维拓扑学的bug ， 而是一种重要特征 。 这些扭结是“拓扑的切片”而不是“光滑的切片” ， 这也意味着它们是一些褶皱球面的切片 。 这也让数学家建立了普通四维空间的特殊版本 。 从拓扑学的角度来看 ， 它们看上去和普通的空间相同 ， 但不可避免地存在皱褶 。 这些奇异空间的存在 ， 能将第4个维度与其他的维度分开 。
数十年的难题
20世纪50年代 ， 约翰·康威在青少年时 ， 就对扭结产生了兴趣 。 他采用一种简单的方法 ， 列出了全部含有11个交叉的扭结（在此之前 ， 数学家还只能完整地列出含有10个交叉的扭结） 。 在这些扭结中 ， 有一个十分突出 。 波士顿大学的乔舒亚·格林（JoshuaGreene）说：“我认为康威当时就意识到了这一扭结的特殊之处 。 ”
而这一扭结引发的难题——康威扭结是否为更高维扭结的切片 ， 困扰了数学家长达数十年的时间 。 “切片”是扭结理论学家针对高维空间中的扭结 ， 首先自然想到的多个问题之一 。
格林表示 ， 切片问题并不是这些奇怪的四维空间的“最低维度的探测器” 。 近些年来 ， 数学家发现了多种属于拓扑切片 ， 而不是光滑切片的扭结 。 数学家已经证实了几乎所有含有不超过12个交叉的扭结的切片状态 ， 但唯一的例外 ， 就是康威扭结 。
当康威扭结作为一种拓扑切片扭结而为人熟知时 ， 20世纪80年代的数学家意识到 ， 这一结构中蕴含着一些革命性的发现 。 他们无法计算出这种切片扭结是不是光滑的 ， 但他们的推测答案是否定的 ， 因为这一扭结缺乏传统的光滑扭结均具有的“ribbonness”结构 。 但问题并没有这么简单 ， 它的另一个特征却令数学家无法证实它不是光滑的切片扭结 。
康威扭结还有一系列的变体 。 如果你在纸上画一个康威扭结 ， 剪下其中特定的一部分再将其翻转 ， 然后将断开的结点相连 ， 你将会得到另一种很有名的扭结——Kinoshita-Terasaka扭结 。
暖栀|解决了一个困扰学界数十年的难题，她用读博的业余时间
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康威扭结和Kinoshita-Terasaka扭结互为变体结构 。 这也意味着 ， 你能够通过翻转红色矩形框中的部分扭结 ， 实现两者的转化 。
但问题是 ， 这种新的扭结恰好为一种光滑的切片 。 尽管康威扭结如此接近一个光滑的切片扭结 ， 但它几乎躲开了所有数学家用来检测费光滑扭结的工具（扭结不变量） 。 皮奇里洛表示 ， 康威扭结就像是同时位于这些多个扭结不变量的盲区 。
杨百翰大学的数学家马克·休斯（MarkHughes）创造了一个类似神经系统的网络结构 ， 利用扭结不变量和其他信息 ， 预测扭结的切片等特征 。 对于大多数扭结 ， 这一结构均能做出清晰的预测 ， 但它对康威结构的判断是：属于光滑的切片结构的概率是50% 。 印第安纳大学荣誉教授查尔斯·利文斯顿（CharlesLivingston）说：“很长时间以来 ， 它都是我们无法解决的扭结 。 ”
“有点古老”的解决方法
皮奇里洛喜欢扭结理论赋予的视觉直觉 ， 但她并不认为自己是个扭结理论学家 。 她说：“我对三维和四维的形状具有很大的兴趣 。 由于这些形状的研究与扭结理论紧密相连 ， 所以我也做了一些相关研究 。 ”
皮奇里洛遇到康威扭结的切片问题时 ， 她正在考虑除变体之外 ， 如何通过另一种形式将两个扭结联系起来 。 每个扭结都有一个相关联的四维形状 ， 称作扭结的迹（trace） ， 它是将扭结放置在四维球面的边界上 ， 顺着扭结的位置得到的结构 。
不同的扭结能拥有相同的四维迹 ， 当数学家了解这些扭结的迹时 ， 他们可以推测它们具有相同的切片状态——要么都是切片 ， 要么都不是 。 但皮奇里洛和莱斯大学的博士后艾利森·米勒（AllisonMiller）已经发现 ， 对于所有用于研究切片的扭结不变量 ， 这些相似的迹并不需要看起来一样 。


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