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「光明网」雪花周长和地球直径哪个大？

一片雪花的周长和地球的直径哪个更长？这看似是一个显而易见的问题 。 但是 ， 它其实蕴含了一个深刻的数学原理——分形几何 。

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1英国的海岸线有多长？

1967年 ， 美国数学家曼德布罗在美国权威期刊《科学》上发表了一篇论文 ， 题目是《英国的海岸线有多长》 。 很多年以前 ， 人们就发现了一个奇怪的现象：不同国家的测量机构对英国的海岸线测量数值相差很大 ， 有人提出：这是因为在测量过程中“尺子”的大小不同造成的 。 曼德布罗重新研究了这个问题 ， 得出了一个惊人的结论：英国海岸线的长度可以是无限的 。

为什么这么说呢？我们知道 ， 英国的海岸线非常崎岖 ， 如果我们用卫星进行测量 ， 相当于用一个很巨大的尺子 ， 这样就会忽略海岸线上很多崎岖的细节 ， 测量出的结果就比较小 。 但是如果我们让一个人沿着海岸线走一圈 ， 他就会走过海边的礁石和沙滩 ， 穿越海边的丛林 ， 会发现很多卫星上看不到的细节 ， 测量的结果就会变大 。 假如我们让一只蚂蚁爬过英国的海岸线 ， 因为蚂蚁的身体更小 ， 它就会发现更多人观察不到的细节 ， 例如海边的一块小石头 ， 一个易拉罐 ， 甚至一粒沙子 ， 造成测量的结果更大 。

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不同的尺子 ， 测量结果不同

于是 ， 假如我们让尺子无限缩小 ， 英国的海岸线长度就会变成无穷大 。 1975年 ， 曼德布罗提出了分形“分形”这个词 ， 来描述这种神奇的问题 。

2科赫雪花

其实 ， 曼德布罗并不是最早研究分形几何的数学家 。 比他早100年的数学家康托尔就已经研究过类似的“康托尔集合” 。 在这一百年中 ， 数学家们提出过各种各样的分形几何图形 ， 其中最为著名的是数学家科赫提出的“科赫雪花 。 ”

1904年 ， 瑞典数学家科赫提出了一种图形：将一个正三角形的每条边平分为三份 ， 再以每条边中间的一份为边 ， 向外做正三角形 ， 这个过程称为一次迭代 。

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一次迭代

经过一次迭代 ， 正三角形变为了12条边 。 我们再将每条边平分成三份 ， 向外做更小的正三角形 ， 称为二次迭代 。 然后不停地重复这个过程 ， 直到无限次迭代 ， 就形成了科赫雪花 。

2次、3次迭代

科赫雪花的周长有多大呢？设最开始的三角形边长为1 ， 经过一次迭代 ， 每条边的边长都变为了原来的4/3 ， 所以周长会变为原来的4/3 。 经过N次迭代 ， 边长就变为

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当迭代次数无穷多 ， N无限大时 ， 科赫雪花的周长就会变为无穷大——这是因为它的边非常的崎岖 。 相比来讲 ， 地球虽然看起来比雪花大很多 ， 但是它的直径却是一个有限值——大约12800km 。 雪花的周长比地球直径还要大 。

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地球直径

科赫雪花的周长是无限长 ， 但是面积是有限的——这是显而易见的 ， 因为可以用一个圆形把雪花罩住 ， 所以雪花的面积小于圆形的面积 。

「光明网」雪花周长和地球直径哪个大？。科赫雪花面积是有限的

具体来讲：最初的正三角形有三条边 ， 迭代时每一条边都会变为4条边 ， 所以经过N-1次迭代之后总边数为

进行第N次迭代时 ， 雪花的每条边都会向外凸起 ， 形成新的小三角形 。 设最初的三角形面积为1 ， 每次迭代构造的小三角形边长为原来三角形的1/3 ， 面积是原来三角形的1/9 ， 所以进行第N次迭代时 ， 生成的每个小三角形面积为：

所以 ， 第N次迭代增加的所有小三角总面积为：

于是经过无限次迭代 ， 可以利用等比数列求和得到雪花的总面积为

总面积比原来增加了60% 。

3谢尔宾斯基地毯

除了科赫雪花 ， 还有一种比较有名的分形结构——谢尔宾斯基地毯 。 它是由波兰数学家谢尔宾斯基在1916年提出的 。

谢尔宾斯基地毯的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形 ， 再将中间的正方形去掉 ， 称为一次迭代 。 然后对余下的8个小正方形做同样操作 ， 直到无限次 。

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构造谢尔宾斯基地毯

这个图形看起来无限镂空 ， 我们很容易计算它的面积：每次迭代时 ， 去掉的黑色部分都占白色部分面积的1/9 ， 所以余下白色面积的 8/9 。 设最初白色正方形面积为1 ， 经过N次迭代之后剩余的白色面积为

我们发现 ， 只要迭代次数无穷多 ， 这张地毯的面积是趋近于0的 ， 这和科赫雪花周长趋向于无穷大有异曲同工之妙 。

4自相似性

分形结构最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时 ， 它与整体的形状完全一样 ， 只是大小不同 。 例如 ， 我们把谢尔宾斯基地毯右上角的小方块拿出来 ， 它和整体是相似的 。 再从其中拿出更小的方块 ， 依然和整体是相似的 。

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谢尔宾斯基地毯自相似性

同样 ， 我们可以把科赫雪花不停地放大、再放大 ， 无论多小的一小段 ， 雪花都依然保持了和原来一模一样的崎岖结构 。

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科赫雪花自相似性

5分形图案的维度

我们知道：直线是1维的 ， 平面是2维的 ， 空间是3维的 ， 这称为拓扑维度 。 不过要表示分形图案的维度 ， 我们需要用到另一个概念——豪斯多夫维度 ， 它是德国数学家豪斯多夫在1918年提出的 ， 所描述的刚好是自相似图形的特点 。

「光明网」雪花周长和地球直径哪个大？。豪斯多夫维度的定义是：如果能把一个图形按照1：m的比例分割 ， 最后分出n份 ， 那么豪斯多夫维度就是

比如 ， 将一条线段分成按照1：2的比例分割 ， 就能分割成2份 。 于是线段的豪斯多夫维度是log22=1；把一个正方形按照1：2的比例分割 ， 就能分割成4份 ， 所以正方形的豪斯多夫维度是log24=2；把一个立方体按照1：2的比例分割 ， 就能分割成8份 ， 立方体的豪斯多夫维度是log28=3 。

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分割图形

按照这样的规律 ， 我们可以计算出科赫雪花和谢尔宾斯基地毯的维度 。 科赫雪花每次迭代时相似比为1：3 ， 而且分出了4份 ， 所以豪斯多夫维度为log34=1.26；谢尔宾斯基地毯中的每一小块与全体的相似比为1：3 ， 每张地毯可以分出8个小块 ， 因此豪斯多夫维度是log38=1.89 。

分形曲线的维度居然不是整数 ， 真是匪夷所思！

科学家们还发现：现实生活中小到一片叶子 ， 大到一个星球 ， 它的表面都是崎岖不平的 。 曾经 ， 我们研究的几何学都是以光滑的曲线和平面为基础 ， 研究分形结构有助于我们更好的认识真实的世界 。

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菜花的分形结构

艺术家们还构造出了许许多多的分形结构 ， 给我们一种深邃之美 。

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分形艺术

佛家说：一花一世界 ， 一叶一菩提 。 分形结构正是如此：无论多么细微的部分 ， 总是保留着无限精彩的世界 。


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