给定公理体系，是否存在命题，不能被证实，不能被证伪，也不能证明其独立性（既不能证明也不能证伪）?
重新表述一下问题，问题有两个：1. 是否存在程序P，使得任何程序都不能计算P的停机问题？2. 是否存在数学命题
，在给定理论
中既不能证明
，也不能证明
，并且
不是独立于
的？第二个问题答案是不存在，由定义可得，留作练习。第一个问题相对不那么平凡，想了想，答案是存在，证明如下：固定图灵机的任意枚举，定义函数
:
函数
是递归的（练习），因此存在
使得
，因此其停机函数为：
假定
是图灵可计算的（即，是一个程序），令 【给定公理体系，是否存在命题，不能被证实，不能被证伪，也不能证明其独立性（既不能证明也不能证伪）?】
。考虑
，如果
，那么
；如果
，那么
。矛盾。因此
不是图灵可计算的，即不存在程序计算我们所构造的P的停机问题。
■网友
谢邀。首先要清楚你是在什么意义上谈论“证明”的？证明有两种含义：第一种是元语言层面的证明，第二种是在一个公理体系内的证明。比如这句话：“我们可以证明某个命题在Peano算术中不可证明”，第一个证明是第一种意义，第二个证明是第二种意义。在哥德尔不完全性定理中出现的证明是第二种意义的。我们用
表示“T可以证明p”。事实上，如果某个命题p是独立于T的，那么p本身的独立性也必然是独立于T的。因为p的独立性蕴涵T的一致性，根据哥德尔第二不完全性定理这是不可证的，而显然它也是不能被证否的。形式化地写出来就是这样：如果
则有
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