若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值引理：i和j二

引理：i和j二进制表示位数相同。用反证法。如果不同，则g=i^j的位数和i的相同，并且大于j的位数，从而有g\u0026gt;j，这与g=gcd(i^j)\u0026lt;=j矛盾。下面证明。记g有k位，i和j有n位，则i和j前(n-k)位相同，因此(i-j)不会超过k位，也就是小于 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
。由于，g有k位，所以 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
，也就是说小于 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
且是g倍数的数只有g一个。由于(i-j)是g=gcd(i,j)的倍数，所以i-j=gcd(i,j)。证毕。
■网友
异或大于等于差（的绝对值）GCD 小于等于差（的绝对值）；前提是两个数不相等故异或和 GCD 相等时，它们都等于差的绝对值。
■网友
只需证明 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
即可。证明：不妨设 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
，若在某个二进制位 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
有 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
，那么容易知道交换 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
的值后 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
不变，但此时 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
增加（最后两者相等）。Q.E.D. $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$
所以原命题 【若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值】 $若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值$

若两个数的异或等于其最大公约数，则也必等于其差绝对值

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