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引言
2021 年 2 月 10 日 19 时 52 分 ， 我国首个独立火星探测器“天问一号”实施近火捕获制动 ， 并成功进入近火点高度约 400 千米的大椭圆环火轨道 ， 成为我国第一颗人造火星卫星 。 自 2020 年 7 月 23 日成功发射以来 ， 天问一号探测器已累计飞行 202 天 ， 飞行里程超 4.5 亿公里 。 后续天问一号还将经过多次轨道调整 ， 进入火星停泊轨道 ， 开展预选着陆区探测 ， 计划于 2021 年 5 月至 6 月择机实施火星着陆 ， 开展巡视探测 。
探测器是怎样从地球到达火星的？和地球上两点之间往返不同 ， 去火星要复杂得多 。 地球和火星都是环绕太阳旋转的行星 ， 而由于轨道半径不同 ， 两者的公转周期也不同 。 这导致了地球和火星之间的直线距离呈周期性变化 ， 最近时为 5460 万千米 ， 最远时可达 4 亿千米 。 因此需要提前对探测器飞行路线进行规划 。
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图 1: 火星探测器“天问一号”发射升空
理论上探测器可以沿着任意路径到达火星 ， 但是有一条称为“霍曼转移轨道”的飞行路径效率最高 。 该轨道是由德国物理学家霍曼在 1925 年首次提出的 ， 途中只需两次引擎推进 ， 相对节省燃料 。
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图 2: 编号 2 的半椭圆就是霍曼转移轨道
例如图 2 是将航天器从低轨道 1 送往较高轨道 3 的霍曼转移轨道 。 航天器在原先轨道 1 上瞬间加速后 ， 进入一个椭圆轨道 2 。 航天器由此椭圆轨道的近拱点开始 ， 抵达远拱点后再瞬间加速 ， 进入另一个圆轨道 3 ， 此即为目标轨道 。 要注意的是 ， 三个轨道的半长轴是越来越大的 ， 因此两次引擎推进皆是加速 。
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图 3: 成功到达火星
对于地球到火星的霍曼转移轨道 ， 若取地球和火星的椭圆形轨道为近似圆形轨道 ， 则霍曼转移轨道呈环绕太阳的椭圆形 。 近日点在地球轨道 ， 远日点在火星轨道 。 从地球发射的飞船首先加速到霍曼转移轨道速度 ， 到达火星轨道后再加速到火星环绕速度 。 若要降落火星地表 ， 则可省去第二次加速直接坠入火星 。 为了探测器和火星同时到达同一个点 ， 探测器必须在特定的时间范围内发射 。 这个特定的时间范围称为“发射窗口” 。 若错过“发射窗口” ， 则需要再等两年多的时间 。
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图 4: 错过发射窗口
本文使用简单的数理知识建立模型来确定“发射窗口”期间地球和火星的相对位置 ， 并确定两次“发射窗口”之间的时间间隔 。
模型
为了描述地球、火星和探测器的运动 ， 我们需要一个以太阳为参照点的坐标系 。 如图 5 所示 ， 我们以地球绕太阳公转的轨道平面（黄道）作为基准平面 ， 用 0°到 360°来给出从太阳中心看时天体围绕黄道的位置 。 由于在黄道上没有明显可以作为黄道经度 0°的点 ， 因此春分点常被指定为黄经 0°的位置 。 这种坐标系在天文学中被称为黄道坐标系 ， 相应的坐标被称为日心经度（太阳经度） 。
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图 5: 黄道坐标系和日心经度
地球和火星 ， 以及火星探测器的动力学是非常复杂的 。 为了简化问题 ， 我们做出了一些假设：
1.地球和火星的轨道都是以太阳为中心的圆 。 实际上地球和火星的轨道并不是圆 ， 而是略呈椭圆 。 相比之下 ， 地球的轨道比火星更圆 。
2.地球和火星都以恒定的速度绕太阳运动 。 由普勒第二定律可知 ， 单位时间内行星与太阳的连线所扫过的面积相等 。 因此行星在近日点速度大 ， 在远日点速度小 。 但由于地球和火星的轨道非常接近圆 ， 因此公转过程中速度变化不太 。
3.地球和火星的轨道在同一平面上 。 实际上地球和火星的公转轨道并不在同一平面内 ， 但两平面非常接近 ， 仅有微小的夹角 。
注意 ， 以上假设严格上来讲都不正确 。 但在这些假设下 ， 问题将得到极大地简化 ， 并且在此基础上对“发射窗口”计算的精度已经足够说明问题 。
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图 6: 地球和火星轨道以及太阳
为了方便演示（图 6） ， 我们将地球放置于日心经度为 0°位置（探测器在此位置发射） ， 将火星放置于日心经度为 180°位置（探测器在此位置登入火星） 。 那么霍曼转移轨道就是连接处于 0°地球和处于 180°火星的椭圆（图 7） 。
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图 7: 地球和火星之间的霍曼转移轨道
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图 8: 霍曼转移轨道半长轴的计算
地球到太阳的平均距离为 1 个天文单位 ， 即 1.0 AU 。 而火星到太阳的平均距离为 1.524 AU 。 因此很容易计算出霍曼转移轨道半长轴为
a = (1.0 AU + 1.524 AU)/2 = 1.262
开普勒第三定律指出 ， 绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星 ， 其公转周期 T 的平方与其椭圆轨道半长轴 a 的立方成正比 ， 即
T^2 = k a^3
其中为常数 。 若以天文单位 AU 为长度单位 ， 以年为时间单位 。 对于地球有 ae = 1.0 AU ， Te = 1 年 ， 则可求出 k=1。 据此可以求出火星的公转周期为
Tm^2 = 1.524^3, 从而 Tm = 1.88 年 = 687 天
同样 ， 还可以求出探测器绕椭圆形霍曼转移轨道运动的周期为
Th^2 = 1.262^3,从而 Th = 1.42 年 = 517 天
从地球到达火星 ， 只需要沿着霍曼转移轨道飞行半周 ， 因此大约需要 259 天 。
火星绕太阳公转一周（360°）需要 687 天 ， 这意味着在探测器沿着霍曼转移轨道飞行半周的 259 天中 ， 火星转过的角度为
360/687 × 259 = 136°
要计算探测器发射时火星的位置 ， 则从火星接受到探测器的位置（180°）上减去火星转过的角度 136° ， 即 180°- 136°= 44° 。 因此 ， 如果想让探测器到达火星轨道时正好能够与火星相遇 ， 则需要在火星日心经度刚好领先地球 44°时从地球上发射探测器（图 9） 。
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图 9: 发射探测器时火星相对地球位置
接下来我们考虑如果错过发射窗口 ， 需要多长时间才能等到下一次发射窗口 。 由于地球公转的角速度大于火星 ， 只要地球刚好比火星多绕太阳转一周时 ， 就是下一次发射窗口（图 10） 。
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图 10: 相对于图 9 的下一次发射窗口
因此 ， 两次发射窗口的时间间隔 T 可表示为
【火星|成功入轨！从地球到火星，天问一号是如何规划星际路线的？】T(2π/Te - 2π/Tm) = 2π
代入地球和火星的公转周期可得
T = Te×Tm/(Tm-Te) = 687×365/(687-365) = 779
从几何角度解释也容易理解：在 779 天内地球绕太阳运动了 2 周 48°度角 ， 火星运动了 1 周 48°度角 ， 火星和地球的相对位置又回到了 779 天前（相差 44°角） 。
实践
在上文的模型中 ， 我们介绍了霍曼转移轨道 ， 并计算得到了“发射窗口”期间地球和火星的相对位置 ， 以及两次“发射窗口”的时间间隔 。 我们还可以动手绘制霍曼转移轨道 。 首先准备一张方格纸 ， 并约定 1 分米表示一个天文单位 。 然后把一颗图钉固定在方格纸的正中间 ， 表示太阳的位置 。 将绳长分别调整到 1×2 分米（地球公转轨道半径的两倍）和 1.52×2 分米（火星公转轨道半径的两倍） ， 就可以按照图 11 所示的方法绘出地球和火星的圆形轨道 。
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图 11: 用绳和一颗图钉绘制圆形轨道
接下来我们绘制表示霍曼转移轨道的椭圆 。 椭圆的焦距为 0.26 分米 ， 表示太阳的图钉是椭圆的一个焦点 。 如果我们认为太阳的坐标为 (0,0) ， 则椭圆的另一个焦点为 (-0.52,0) ， 我们在该焦点处也固定一颗图钉 。 把绳长调整为椭圆半长轴与焦距之和两倍长度 ， 即 (2.52+0.26)×2 分米 ， 就可以按照图 12 所示的方法绘出椭圆霍曼转移轨道 。
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图 12: 用绳和两图钉绘制霍曼转移轨道
结论
本文通过建立数学型和实践绘图 ， 介绍了“霍曼转移轨道” ， 并计算得到了“发射窗口”为火星的太阳经度领先地球 44°时 ， 两次“发射窗口”的时间间隔为 779 天（约 26 个月） 。 在实际飞行时 ， 火箭的发射条件会由于总装调试进程、火箭状态和天气等原因推迟 ， 因而发射也并不需要严格遵循 26 个月的间隔 ， 这仅是理论值 。 例如 ， 2011 年 11 月 26 日好奇号火星车发射 ， 它和 2013 年 11 月 18 日发射的大气专家轨道器仅相隔 24 个月 。 由于各探测窗口条件不同 ， 各探测器使用的火箭性能和飞行方案不同 ， 最终的探测器霍曼转移轨道飞行距离可以轻易长达 4-7 亿千米 ， 耗时 6-11 个月不等 。 对于 2020 年从地球出发的几个火星探测器而言（包括我国的天问一号） ， 大致都需要 7 个月左右时间 ， 于 2021 年 2 月前后分别抵达火星 。
参考资料
[1] Wikipedia contributors. Tianwen-1 — Wikipedia, the free encyclopedia, 2020: https://en.wikipedia.org/wiki/Tianwen-1
[2] California Institute of Technology. Jet propulsion laboratory, 2020: https://www.jpl.nasa.gov/edu/teach/activity/lets-go-to-mars-calculating-launch-windows/
[3] Ariel Zych. Scale solar system orbits—and satellites!, 2018: https://www.sciencefriday.com/educational-resources/scale-solar-system-orbits-and-satellites/
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