香农|如此可爱而且有用的公式，神奇的知识又增加了
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香农公式
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19世纪初 ， 电磁学的发展使电报、电话、无线电广播等如雨后春笋般出现 ， 但有关它们传输载体信息本身的研究却基本毫无动静 。
直到20世纪中叶 ， 香农用信息熵解决了如何计量信号信息量的问题 ， 并给出了信道容量公式 ， 定义了信息传送速率上限 ， 这也就是著名的香农公式 。 可以说 ， 几乎所有现代通信理论都是基于这个公式展开的 。
根据香农的理论 ， 由于受到固有规律的制约 ， 任何信道都不能无限增加信息传送的速率 。 我们可以简单地把信息通道看作城市道路 ， 这条道路上单位时间内的车流量受到道路宽度和车辆速度等因素的制约 ， 在这些制约条件下 ， 单位时间内最大车流量就被称为极限值 。
当信息速率的极限值（C）一定时 ， 信道带宽（B）与信噪比（S/N）可以相互交换 。 也就是说 ， 在传输速度不变的情况下 ， 提高信道带宽可以容忍更低的信噪比 ， 反之亦然 。 这种互换是扩频通信的理论基石 。 而香农公式也成了信息时代的“圣经” 。
弹道系数计算
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从弹道学的角度来看 ， 弹丸离开身管后到击中物体前的飞行阶段被称为外弹道 ， 是弹丸按照既定轨迹完成致命一击的关键 。 这一阶段弹丸的飞行曲线总是变幻莫测 ， 因为飞行过程受到空气阻力的影响 ， 速度会越来越慢 ， 飞行姿态也会随之不断改变 ， 这反过来又改变了阻力 ， 给人们掌握弹丸的运动规律带来了很大的困难 。
在这种情况下 ， 弹道系数（BC）应运而生 ， 这是一个用来衡量弹丸克服空气阻力、维持飞行速度的能力的数学因子 ， 反应了子弹抵抗阻力、保持飞行速度的一个特征量 ， 根据它可以推算各个距离上子弹的瞬时速度 。 一般来说 ， 弹道系数的准确值是由实验结合推算获得的 ， 但这个值并并非一成不变 。 在不同气温、气压下 ， 也需要对系数进行相应的修正 。
对射手而言 ， 通过弹道系数的对比 ， 可以大致了解某种子弹的性能 ， 特别是远距离射击时的精度、速度和存能情况 ， 这是挑选子弹的重要参考 ， 也是远距离瞄准的基本参数 。
胡克定律
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胡克定律是力学弹性理论中的一条基本定律 ， 它可以表述为：固体材料受力之后 ， 材料中的应力与应变（单位变形量）之间呈线性关系 。 有时也被称为弹簧定律 。
在机械表中 ， 游丝就是一种特殊的细弹簧 。 它是由一圈按照阿基米德螺线制成的金属丝 。 从运动学上来说 ， 机械表就是通过减速齿轮系把摆轮游丝的周期振动转化为表针的周期运动 。 当机芯开始正常工作时 ， 游丝就开始进行扩大与收缩运动 ， 通过游丝的收紧与扩张 ， 可以形成一个弹力的回转 。 游丝带动摆轮进行往返运动 ， 这样就可以令摆轮不断摆动 ， 将时间切割为完全相同的等分 ， 两者协力 ， 就是机械表的“第一负责人” 。
荷兰物理学家惠更斯最早成功地在钟表上采用了摆轮游丝 ， 把这种振荡系统的频率作为时间基准用于钟表 。 这使得时钟的走时精度大大提高 ， 钟表的外形尺寸也因此可以缩小 。 这也开启了机械表的科学制造时代 。
混沌理论
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蝴蝶效应是典型的混沌系统 ， 在我们的生活中随处可见 。 全球气候会在短时间内巨幅变动 ， 股票市场可以毫无预警地崩溃 ， 生物可能一夜之间在地球上灭绝……而我们对此无能为力 。
混沌其实是非线性系统在一定条件下的一种状态 ， 而我们的世界恰恰就是一个由非线性系统所主导的混沌世界 。 事实上 ， 几乎自然界的所有系统都是非线性系统 ， 在一定条件下都会产生混沌现象 。 这种现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态 ， 而产生无法预测的随机效果 。
以蝴蝶效应的方程为例 ， 方程可以分解为线性和非线性两个部分 。 线性系统的解是否稳定（即能否得到收敛解）完全依赖于矩阵A的特征值大小 ， 而非线性部分则具有非线性特性 ， 若方程发散 ， 则变得更复杂 。
因此 ， 混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法 ， 是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析 ， 针对动态系统中必须用整体、连续的而非单一的数据关系才能加以解释和预测的行为 。
凯利公式
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当你在赌场时 ， 到底应该以多少比例下注 ， 才能获得最大收益呢？普通赌徒可能一脸茫然 ， 但凯利公式可以告诉我们答案 。
凯利告诉我们 ， 要通过选择最佳投注比例 ， 才能长期获得最高盈利 。 如果是一个公平的掷硬币的游戏 ， 掷出正、反面的概率都是50%（p = q = 0.5） ， 假设赔率是2 ， 那我们求得的答案（f）就是25% 。 也就是说 ， 每次都拿出当前手中资金的25%来进行下注 ， 收益基本能呈现稳步增长的大趋势 。 凯利公式并非凭空设想出来的 ， 这个数学模型已经在华尔街得到了验证 ， 除了在赌场被奉为“胜利理论” ， 同时也被称为资金管理神器 。
但对于赌场游戏而言 ， 我们更应该认识到的是 ， 所有赌场游戏几乎都是对赌徒不公平的游戏 。 这种不公平并非“出千” ， 而是说 ， 现代赌场光明正大地利用数学规则赚取利润 。 对赌博的最终结论其实只有一个：除非100%赢 ， 否则任何时候都别赌上全部身家 ， 即使赢率相对较高时也要谨慎 。 赢得胜利的唯一法则是 ， 不赌 。
贝叶斯定理
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贝叶斯定理素来以其简单优雅、深刻隽永而闻名 。 它的含义可以理解为 ， 先预估一个先验概率 ， 再加入实验结果 ， 看这个实验到底是增强还是削弱了先验概率 ， 修正后得到更接近事实的后验概率 。
今天的贝叶斯理论几乎可以说“无处不在” ， 生活中 ， 我们常常使用贝叶斯公式进行决策 。 在科学界 ， 它延伸到各个领域 ， 从物理学到癌症研究 ， 从生态学到心理学……物理学家提出了量子机器的贝叶斯解释 ， 捍卫了弦和多重宇宙理论 。 哲学家主张科学作为一个整体 ， 其实是一个贝叶斯过程 。 而在IT界 ， AI大脑的思考和决策过程更是被许多工程师设计成了一个贝叶斯程序 。
最后让贝叶斯定理站在“世界中心”的 ， 或许是人工智能领域 ， 特别是自然语音的识别技术 。 语音涉及各种动态语法 ， 机器怎么知道你说的是什么？而语音识别本质上是一个将音频序列转化为文字序列的过程 ， 也就是在给定语音输入的情况下 ， 找到概率最大的文字序列 。 一旦出现条件概率 ， 贝叶斯定理总能挺身而出 。 随着大量数据输入模型进行的迭代 ， 和大数据技术的发现 ， 贝叶斯定理的威力日益凸显 ， 它的实用价值也越发显现 。
三体问题
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三体问题似乎是我们所能遇见的一个很普遍的问题 ， 最简单的例子就是太阳系中的太阳、地球和月球的运动 。 它也是天体力学中的基本模型 ， 探究的是三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体 ， 在万有引力的作用下的运动规律 。
然而或许令人出乎意料的是 ， 这个问题被无数科学家、数学家苦苦追寻 ， 仍然没能圆满地解决 ， 就更不用说大于3的N体问题了 。
三体问题的真正解决办法是建立一种数学模型 ， 使三体在任何一个时间断面的初始运动矢量已知时 ， 能够精确预测三体系统以后的所有运动状态 。 一般的三体问题 ， 每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下 ， 其运动方程都可以表示成6个一阶的常微分方程 。 因此 ， 一般三体问题的运动方程为十八阶方程 ， 必须得到18个积分才能获得完全解 。 然而 ， 现阶段还只能得到三体问题的10个初积分 ， 这远不足以解决三体问题 。
它也成了百年数学大厦上的一朵乌云 ， 始终挥之不去 。
椭圆曲线
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这个数学方程虽然看起来很简单 ， 但它却是证明世界三大难题之一的费马大定理的关键 。 1955年 ， 日本数学家谷山丰提出了谷山-志村猜想 ， 建立了椭圆曲线和模形式之间的重要联系 ， 为后来英国数学家怀尔斯指明了一条证明费马大定理的路 。
然而 ， 椭圆曲线也为中本聪发明比特币协议开启了一扇大门 。 比特币的方方面面都与数学密不可分 ， 相比于其他数学应用 ， 椭圆曲线方程在其中扮演着十分关键角色 。 可以说 ， 没有椭圆曲线方程 ， 就没有比特币的安全性 ， 假如没有这种安全性 ， 比特币就不可能建立起货币信用 。
在比特币的加密技术中 ， 使用椭圆曲线算法生成公钥和私钥 ， 私钥就是比特币客户端的核心 ， 拥有私钥就拥有私钥对应比特币的使用权限 。 中本聪选择了“Secp256k1椭圆曲线” ， 这是一条随机曲线 ， 而非伪随机曲线 。 由于其构造的特殊性 ， 它可以占用很少的带宽和存储资源 ， 密钥长度很短 ， 同时还能保障密钥对生成和签名验证的安全 ， 为比特币树立起了一面强有力的天然屏障 。
文中插图及内容整理自《公式之美》（量子学派/编著 ， 北京大学出版社出版 ， 2020年9月） ， 经著作方授权使用 。
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