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|重整化群：从微观到宏观，不同尺度的现象如何联系起来？



|重整化群：从微观到宏观，不同尺度的现象如何联系起来？
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导语
从基本粒子到原子、光波、水波 ， 自然似乎倾向于将自己分裂成不同尺度的独立世界 ， 而重整化的过程则将小尺度与大尺度联系起来 。 有物理学家认为 ， 重整化可以说是过去50年理论物理学中最重要的进展 。 在亚原子物理学中 ， 重整化告诉我们 ， 何时可以只处理相对简单的质子 ， 而忽略掉其内部彼此纠缠的夸克 。 不过 ， 当问题简化之后 ， 那些忽略掉的微观细节要如何看到呢？
原文题目： How Mathematical ‘Hocus-Pocus’ Saved Particle Physics 原文地址： https://www.quantamagazine.org/how-renormalization-saved-particle-physics-20200917/
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我们不需要分析单个的水分子来理解水滴的行为 ， 也不需要分析水滴来研究水波 。 这种在不同尺度之间转移焦点的能力正是重整化的本质 。 | 来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
上世纪40年代 ， 开创性的物理学家们偶然发现了另一层的现实 。 他们不再从粒子的角度看待微观世界 ， 而是从场的角度——像海洋一样充满空间的广阔而起伏的实体 。 场中激发的一个涟漪可能是电子 ， 另一个可能是光子 ， 它们之间的相互作用似乎可以解释所有的电磁事件 。 但是应用场论遭遇到了一个问题：只有使用一种被称为“重整化”的方法 ， 将无穷的量小心隐藏起来 ， 研究人员才能避开虚假预测 。
这个过程行之有效 ， 但即使是那些发展这一理论的人也怀疑 ， 它可能是建立在一套复杂数学技巧上的“纸牌屋” 。 理查德·费曼（RichardFeynman）后来写道：“我认为这是一个愚蠢的过程 。 不得不求助于这样的骗局已经阻止我们证明量子电动力学理论在数学上是自洽的 。
“数十年后 ， 证明终于出现 ， 并且是来自一个看似无关的物理学分支 。 研究磁性系统的物理学家发现 ， 重整化与无穷大根本没有关系；相反 ， 它描述宇宙倾向于分裂成不同尺度的诸多领域 。 如今 ， 这一观点指导着物理学的角角落落 。 剑桥大学的理论学家 David Tong 写道 ， 重整化“可以说是过去50年理论物理学中最重要的进展 。 ”
1. 两种电子电荷：有限与无限
从某种程度上说 ， 场论是所有科学理论中最成功的 。 作为粒子物理学标准模型的支柱之一 ， 量子电动力学（QED）的理论预测与实验结果吻合的精度达到十亿分之一 。 但时间退回到上世纪三四十年代 ， 这一理论的前景仍然充满未知之数 。
对场的复杂行为做近似经常会给出荒谬的无穷解 ， 这使得一些理论学家认为 ， 场论可能是一个死胡同 。 费曼和其他人试图寻找全新的视角 ， 甚至一度有可能让粒子的概念重返舞台中央 ， 但最终凭借一种巧妙的策略回归了场的概念 。 他们发现 ， 如果用难以理解的重整化过程加以修补 ， 量子电动力学方程可以做出相当好的预测 。 这个过程是这样的 。 当量子电动力学计算求和得到的结果是无限时 ， 就截断它 。 把趋向于无穷大的部分表示为和前面的一个系数 ， 即一个确定的数 。 然后用实验测量得到的一个有限的数替换这个系数 。
最后 ， 让调整后的新的和再次趋于无穷 。 对一些人来说 ， 这个解决办法就像是一个骗局 。 量子物理学的开创者之一保罗·狄拉克（Paul Dirac）写道：“这根本不是合理的数学 。 ”问题的核心 ， 以及最终解决方案的根源 ， 可以从物理学家处理电子电荷的方式中看出来 。 在上面的方案中 ， 电荷蕴含在系数中——正是系数在数学计算中吸收掉了无穷大 。
【|重整化群：从微观到宏观，不同尺度的现象如何联系起来？】对于那些为重整化的物理意义感到困惑的理论学家而言 ， 量子电动力学暗示电子有两个电荷：一个是理论上的电荷 ， 它是无穷大的；另一个是测量到的电荷 ， 它是有限的 。 或许从非常靠近电子核心的距离看来 ， 电子由大量电子、正电子和光子组成 ， 携带有无限的电荷；但在实际中 ， 量子场效应（可以想象成一团虚拟的正粒子云）屏蔽了电子 ， 所以实验人员只能测量到一个有限的净电荷 。 重整化捕捉到了一个现象 ， 自然倾向于将自己分裂成本质上独立的世界 。 1954年 ， 盖尔曼（Murray Gell-Mann）和弗朗西斯·洛（Francis Low）两位物理学家充实了这个想法 。
他们用一个随距离变化的“有效”电荷将两种电子电荷联系了起来 。 如果距离电子的核心越近（即越能够穿透电子的正电荷层） ， 看到的电荷就越多 。 他们的工作第一次将重整化与尺度的概念联系起来 。 它暗示量子物理学家事实上找到了错误问题的正确答案 。 他们本应专注于将小尺度与大尺度联系起来 ， 而不是为无限的问题感到困扰 。
南丹麦大学（University of Southern Denmark）的物理学家 Astrid Eichhorn 致力于利用重整化来寻找量子引力理论 ， 他解释说 ， 重整化是“数学版本的显微镜 。 反过来 ， 你也可以从微观系统开始 ， 然后缩放 。 它是显微镜和望远镜的结合 。 ”
2. 连接微观与宏观：从块自旋到重整化群
另一条线索来自凝聚态物质的世界 。 在凝聚态物理领域 ， 物理学家们正困惑于一个问题：一个粗糙的磁性系统模型——伊辛模型——如何能成功确定一些变换的具体细节？伊辛模型包含的只不过是一个由箭头组成的网格 ， 这些箭头的指向要么朝上要么朝下 ， 然而 ， 这个简单的模型却能够以出乎意料的完美方式预测现实生活中磁体的行为 。
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二维伊辛模型 ， 网格中的自旋要么朝上要么朝下 。 | 来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine
低温下 ， 大多数原子倾向于指向相同方向 ， 从而使材料表现出磁性；高温下 ， 原子变得无序 ， 晶格的磁性退减 。 不过在这两者之间的一个临界转变点上 ， 指向相同的原子聚集形成的大大小小的“岛屿”可以同时共存 。 至关重要的是 ， 在伊辛模型中 ， 一些物理量在这个“临界点”附近的变化方式似乎是相同的——无论是不同材料的真实磁体 ， 还是在高压条件的临界点附近 ， 密度不再有差异的液态水和水蒸气 。 这种被理论学家们称为普适性（universality）的现象非常奇特 ， 就像是看到大象这样的庞然大物和轻盈的白鹭以完全相同的最高速度运动一样 。
物理学家通常不会同时处理不同尺度的物体 ， 例如基本粒子、原子、光、流体力学波等系统都是在不同的尺度被描述刻画 。 但临界点附近的普适性行为迫使物理学家同时计算所有尺度 ， 从整个系统尺度的长程涨落一直到原子尺度的微小涨落 。 1966年 ， 凝聚态物理学家利奥·卡达诺夫（Leo Kadanoff）找到了这种计算方法 。 他发展了“块自旋（block spin）”方法 ， 将过于复杂而无法直接处理的伊辛网格分成适当大小的区块 ， 每个区块包含几个箭头 。 然后他计算一个区块内箭头的平均指向 ， 以此数值代替整个区块的箭头指向 。 通过不断重复这个过程 ， 晶格的具体细节逐渐隐没 ， 系统被不断缩放 ， 从而得以了解系统的整体行为 。

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在块自旋重整化过程中 ， 单个自旋组成的精细网格被平均成越来越大的区块 。 | 来源：Olena Shmahalo/Quanta
最终 ， 曾经作为盖尔曼研究生 ， 且同时涉足粒子物理学和凝聚态物质领域的肯·威尔逊（Ken Wilson）将盖尔曼和洛的思想与卡达诺夫的思想结合起来 。 他在1971年首次描述了“重整化群” ， 证明量子电动力学恼人的计算是正确的 ， 并为攀登普适系统的尺度提供了阶梯 。
这项工作为威尔逊赢得了1982年诺贝尔奖 ， 并永远改变了物理学 。 牛津大学的凝聚态理论学家 PaulFendley 说 ， 理解威尔逊的重整化群这一概念的最佳方式 ， 是将其看作连接微观与宏观的“理论的理论” 。
以磁系统网格为例 。 在微观层面上 ， 很容易写出联系两个相邻箭头的方程 。 但用这个简单的公式来推断数万亿个粒子的行为实际上是不可能的 。 因为这是在错误的尺度上考虑问题 。 威尔逊的重整化群描述了从构建区块的理论向一个关于结构的理论的转变 。 从关于小碎片——比如台球中包含的原子——的理论开始 ， 利用威尔逊的数学方法 ， 我们会得到一个描述成组的碎片——也许是台球中的分子——的相关理论 。
随着继续重复这个过程 ， 我们会缩放得到越来越大的组合——台球中分子的集群 ， 台球的一部分 ， 等等 。 最终 ， 我们将能够计算一些有趣的东西 ， 比如整个台球的运动路径 。 这就是重整化群的神奇之处：它帮助我们识别出 ， 测量哪些有助于理解大图像的物理量是有用的 ， 而哪些复杂的微观细节可以忽略掉 。
冲浪者关心海浪的高度 ， 而不是水分子的碰撞 。 与此类似 ， 在亚原子物理学中 ， 重整化告诉物理学家 ， 何时可以只处理相对简单的质子 ， 而不是其内部彼此纠缠的夸克 。 威尔逊的重整化群理论还指出 ， 费曼和他同时代人的困境来源于 ， 他们试图从无限近的距离理解电子 。 英国达勒姆大学的物理哲学家 James Fraser 说：“我们并不期望理论的有效性可以延伸到任意小的距离尺度 。 “现在 ， 物理学家们意识到 ， 当理论有一个内在的最小网格尺寸作为限制时 ， 从数学上截断求和并调整无穷是正确的方法 。
Fraser 说 ， 截断求和的过程吸收了我们对更小尺度上正在发生的事情的无知 。 换句话说 ， 量子电动力学和标准模型根本不能说明在0纳米的距离之外 ， 电子的裸电荷是多少 。 它们是物理学家所说的”有效“理论 ， 在定义良好的距离范围内最为有效 。 要弄清楚当粒子之间更亲密时到底发生了什么 ， 是高能物理学的一个主要目标 。
3. 如何从大到小 ， 看见大自然隐藏的细节？
今天 ， 费曼所说的“愚蠢过程”在物理学中已经像微积分一样普遍存在 ， 其内在原理揭示了这门学科取得的一些重大成果和目前面临挑战的原因 。 在重整化过程中 ， 复杂的亚微观细节往往会消失 。 它们或许真实存在 ， 但不影响整体的大图像 。 “简单是一种美德 。
上帝蕴含于其中 。 ”Fendley 说道 。 这个数学事实捕捉到了自然的倾向——将自身分离成本质上独立的世界 。 当工程师设计摩天大楼时 ， 他们会忽略钢铁中的单个分子 。 化学家分析分子键 ， 但对夸克和胶子一无所知 。 按照尺度分离不同现象 ， 正如重整化群所描述的那样 ， 使得科学家们在过去数个世纪里逐渐从大尺度深入小尺度 ， 而不是同时破解所有尺度的奥秘 。
但与此同时 ， 重整化的过程隐没了微观细节 ， 对于渴望探测到更深层次现象的现代物理学家而言 ， 这无疑是非常不利的 。 不同尺度的分离表明 ， 他们需要深入挖掘 ， 克服大自然的独特趣味：它倾向于隐藏细节 ， 不让人类这样好奇的巨人看到 。 普林斯顿高等研究院的理论物理学家 Nathan Seiberg 说：“重整化帮助我们简化了问题 ， 但也隐藏了短距离内发生的事情 。 两者不能兼得 。 ”
作者：Charlie Wood
译者：梁金
编辑：邓一雪


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