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科技小辛辛 通向万物的答案


科技小辛辛 通向万物的答案
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在著名科幻小说《银河系漫游指南》中 ， 道格拉斯·亚当斯给出了一个“宇宙、生命与万物的答案”——42 。 它也成为一代又一代“指南迷”心中的神圣数字 。
抛开科幻的脑洞 ， 在科学的世界里 ， 比如数学和物理中 ， 数字42背后真的藏着许多有趣的事实 。
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想要“制造彩虹” ， 办法有不少 ， 比如 ， 我们可以拿着浇灌花园的龙头 ， 对着天空喷出水珠 。 所有这些方法都有一些共同点 。 这些彩虹都来自光在水滴中的反射 。 只要这些水滴是淡水 ， 峰值强度就出现在入射光线与反射光线的夹角呈42°时 。
你所见的每一条主彩虹都有几乎一样的弧度 ， 其中的原因并不复杂：光线在水中的速度与在空气中的速度不同 ， 当光进入或离开介质时 ， 它总是以一种可预测的方式弯曲 ， 这是由光在水和空气交界处的入射角决定的 。 当光从空气进入水中时 ， 不同波长的光线弯曲角度略有不同 ， 导致颜色分散“显露”出来 。 假设所有水滴都是完美的球体（这其实是个不错的假设） ， 当光线照射到水滴的背面时 ， 它会以一个已知的、可预测的角度反射 。 当光重新回到空气中时 ， 每个波长都会以一个特定的角度偏离原来的路径 ， 在可见光的光谱上 ， 这个角度大约在41°多到略小于43°之间 ， 峰值强度就在42° 。
假设存在任何一个星球 ， 那里大气稀薄 ， 光能够穿透大气 ， 并以接近真空光速的速度传播 ， 大气中还存在纯水滴 ， 类似的42°彩虹的现象都会出现 。 然而 ， 这其实并不是一种真正普遍的现象 ， 如果大气折射率不可忽略 ， 如果水滴是椭球而不是球形的 ， 如果它们是盐水而不是淡水 ， 或者它们是由完全不同的物质构成的 ， 彩虹就可能以完全不同的角度出现 。
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在数学中 ， 分拆（partition）有非常具体的定义 ， 它代表着用不同正整数相加的方式来表示一个数字 。 比如 ， 有7种方式可以分拆5 ， 它们分别是
5=1+1+1+1+1
=1+1+1+2
=1+1+3
=1+2+2
=1+4
=2+3
=5
这种分拆可以用杨图（Youngdiagram ， 见上图）来表示 。 这些图长得很像俄罗斯方块 ， 每一组方块的个数等于被分拆的整数 ， 而不同的组合方式则代表了相应的分拆方式 。
对于10来说 ， 总共有42种分拆方式 。 有意思的是 ， 这不仅是42和10的唯一联系 。 比如 ， 10=21+23 ， 而42=21+23+25 。 在二进制中 ， 10(10)=1010(2) ， 而42(10)=101010(2) 。 这些数字和关系在数学和物理（尤其是群论相关的领域）具有非常重要的作用 。
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如果允许其中两个数相等 ， 满足上述等式的a ， b ， c和d其实有不少 ， 比如a=2 ， b=4 ， c=d=8；或者a=b=3 ， c=4 ， d=12 ， 等等 。 但如果要求这四个数字必须都不相同的 ， 那等式的解就少得多了 。 在这种情况下 ， a ， b ， c或d中可能的最大值就是42 ， 这组解中其余三个数字分别是2 ， 3和7 。 事实上 ， 这四个数字之间还存在另一种关系 ， 因为2 ， 3和7是42的素因数（42=2×3×7） 。
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【科技小辛辛 通向万物的答案】这个大名鼎鼎的方程名叫丢番图方程 ， 它是一种代数结构 ， 具有非常独特的性质 。 长久以来 ， 不少数学家一直在研究丢番图方程的解 。 对于一些数字来说 ， 比如k=29时 ， 它的解相对简单（k=29=33+13+13） 。 但还有许多就没那么容易了 。
在计算机的帮助下 ， 在2019年之前 ， 100以内的绝大多数数字 ， 要么已经被证明不可能用三个整数的立方和表示 ， 要么已经被求解出来 。 最后剩下的只有两个最难的——33和42 。 2019年3月 ， 英国数学家找到了33的答案 ， 其搜索范围延伸到了数轴非常遥远的地方 。 然而42的解决还需要“更上一层楼” 。 经过漫长的计算 ， 到了2019年下半年 ， 数学家终于得到了答案：


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