江苏龙网

  1. 首页 > 人文 > >

初中数学|一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％


初中数学|一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％
文章图片
初中数学|一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％
文章图片
初中数学|一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％
文章图片
大家好 ， 今天和大家分享一道全国初中数学竞赛题：在直角三角形ABC中 ， ∠C=90° ， ∠B=15° ， BC=1 ， 求AC的长度？这道题目看起来很简单 ， 但是据说正确率却不足10％ 。 下面我们一起来看一下这道题 ， 如图1 。
图1
不少网友看到这道题都会觉得很简单：AC=BC·tan15°即可求出AC的长 。 但是在初中数学中 ， 15°并不算是特殊角 ， 其三角函数值也不能直接使用 ， 那么究竟该怎么求解呢？

初中阶段虽然没有要求记住15°角的三角函数值 ， 但是一般老师都会教学生去推导15°和75°的三角函数值 。 下面先介绍一个15°角三角函数值的推导方法 。
图2
如图 ， 在直角三角形ABC中 ， ∠C=90° ， ∠B=30° ， AC=1 。 接下来我们来构造出15°的角 ， 怎么构造呢？

延长CB至D ， 使得BD=AB 。
在三角形ABD中 ， 就有∠D=∠BAD；
又∠ABC=∠D+∠BAD ， 所以∠D=15° 。
这样一来 ， 我们就构造出了一个15°的角 ， 然后在三角形ACD中进行计算 。
因为AC=1 ， 所以BC=√3 ， AC=2 ， 从而得到BD=2；
由勾股定理可以算出AD=√6+√2 ， 此时可以求出15°角的三角函数值 。
【初中数学|一道全国初中数学竞赛题：求AC的长，看似简单，正确率却不足10％】
图3
再回到竞赛题 ， 15°不是特殊角 ， 所以我们需要通过做辅助线构造出一个特殊角 ， 比如30°角 。 那么怎么构造呢？将图3和图1比较一下是不是可以发现两个图形基本差不多啊？所以我们可以从图3得到启发 ， 那就是在三角形内部构造出一个30°角出来 。

如图 ， 作AB的垂直平分线交BC于点E ， 连接AE 。
根据垂直平分线的性质 ， 得到AE=BE ， 所以∠BAE=∠B=15° ， 所以∠AEC=∠BAE+∠B=30° 。 这样就构造出了一个30°的角 ， 如图4 。
图4
设AE=x ， 则BE=x ， CE=BC-BE=1-x 。 在直角三角形ACE中 ， 因为∠AEC=30° ， 所以CE/AE=√3/2 ， 即(1-x)/x=√3/2 。 解得x=4-2√3 ， 所以AC=2-√3 。 如图5 。

图5
另外 ， 也可以直接设AC=x 。 在直角三角形ACE中 ， 因为∠C=90° ， ∠AEC=30° ， 所以CE=√3x ， AE=2x ， 所以BE=2x ， 所以BC=CE+BE=√3x+2x=(√3+2)x=1 ， 同样可以解得x=2-√3 ， 如图6 。
图6
这是一道几何题 ， 据说当时正确率不足10％ ， 难点就在于作出适当的辅助线 。 只要辅助线做出来了 ， 这道题的难度就变得非常简单 。 其实作辅助线一直是初中几何题的一个重点和难点 ， 很多同学都是因为作不出辅助线而无法求解 。 你觉得这道题难吗？


    推荐阅读


    上一篇：湖北|湖北省高中排行榜，第一名毫无悬念！

    下一篇：|我国3所“最费钱”大学，没家底就别报，不然砸锅卖铁也供不起