数学|于寻常处证神，数学家阿诺德其人其事
_本文原始标题：《阿诺德：于寻常处证神丨我崇拜的数理大神系列之一丨贤说八道》
系列总序
西语Mathematics ， 其希腊语词源μαθηματικ本意是“好学的”意思 。 所谓的polymath ， poly+math, 就是多方位聪明之才也（笔者正在创作的《磅礴为一》就是专门介绍polymath的） 。 Mathematics不能狭隘地理解为数学 ， 它不只是数之学 ， 它还关切几何、拓扑、分析、逻辑等诸多内容 ， 是一种独特的人类智慧结晶 。 一个学科 ， 按康德老师的说法 ， 只有落实到用数学表达的份上才算得上是科学 。 按照康老师的这个标准 ， 物理可以勉勉强强算是科学 ， 这也是物理迷人、吓人、唬人的地方 。 从前 ， 数学物理是一家 ， 有很多大神级的人物给我演示了这一点 ， 要不我怎么会有这种观点呢 。 如今世道变了 ， 许多对数学一窍不通的人一点也不耽误当一个优秀的物理学家 ， 而我依然认为物理学家是应该精通数学的 。 数学是自然的语言 ， 西哲云‘大自然这本书是用数学书写的’ ， 自然地它也必然是自然——也有叫物理的（φυσι , physis ， 是希腊语的自然；而来自拉丁语的nature ， 自然 ， 本意是生）——这门学问的语言 。 愚以为 ， 数学是物理的语言 ， 是物理的工具 ， 又可能是物理的结果 。 会数学的数学家和物理学家所做的物理 ， 总予我以风格轻灵且具有穿透力的印象——牛顿、哈密顿、庞加莱、克莱因、希尔伯特、闵可夫斯基、外尔、诺特等等 ， 莫不如此 。 偶尔翻到那些会数学做物理之人的著作 ， 膜拜之情就油然而生 。 兹斗胆撰写我崇拜的数理大神系列数篇 ， 与朋友们分享我关于这些大神之神迹的点滴印象 。 其宗旨 ， 是盼望后来者知道天下确实存在这种数理皆精通的神奇人物 ， 他们是可作为我们膜拜的对象——如果不是学习的榜样的话 。 限于水平 ， 此系列只能做些浮光掠影式的人物介绍和作品罗列 。 关于具体数学家之某个具体学问的深入介绍 ， 还盼方家各逞擅场 ， 不吝赐教 。
——曹则贤
撰文｜曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）
数学是人类思维的磨刀石！
研究数学是聪明人干的活计儿 ， 数学家也确实 (自以为) 是一群聪明人 。 然而 ， 同样是数学家 ， 那也有天壤之别 。 以我的愚见 ， 有些数学家是钉子型的 ， 在数学的大地上碰巧能扎个坑 ， 偶尔也有点儿深度；有些数学家是钻机型的 ， 在数学的大地上到处钻探 ， 深度足够触及数学的宝藏 ， 杰出者还能绘出矿脉的分布 ， 比如庞加莱、希尔伯特者流；还有一类数学家是挖掘机型的 ， 管它是已知、未知的疆界他都先深翻一遍再说 。 阿诺德就是一位挖掘机型的数学家 。
阿诺德 (Влади мир И горевич Арно льд, 1937-2010) ， 英文写法为Vladimir Igorevich Arnold或者Arnol d ， 是二十世纪数学物理领域中的杰出人物 (图1)。 阿诺德出生于苏联时期的敖德萨 ， 据说13岁时受叔叔启发开始自学数学 ， 所使用的书本包括瑞士数学家欧拉 (欧拉长期在俄罗斯工作过 。 俄罗斯不缺俄语的欧拉著作) 和法国数学家厄米特的著作 (想学数学啵？学点法语哈) 。 阿诺德在莫斯科国立大学学习期间就教于柯尔莫哥洛夫 ， 那是一个学派领袖级人物 。 阿诺德于1957年在不足20岁的时候就解决了希尔伯特1900年演讲中所列数学世纪问题23个中的问题第13 ， 后来被称为柯尔莫哥洛夫-阿诺德表示定理 。 阿诺德的研究领域遍及可积系统、代数、代数几何、微分方程、拓扑、灾变理论、奇性理论、辛几何、经典力学和流体力学 ， 等等 。 辛拓扑 (sympletic topology) 明确是阿诺德开创的领域 ， 它来自辛几何 (sympletic geometry) ， 再往前追溯应该是来自哈密顿正则方程
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。 就研究风格来说 ， 阿诺德确实和哈密顿是一路的 。 阿诺德大学毕业后一直在斯捷克罗夫数学研究所工作 ， 后来也受聘于法国的Paris Dauphine University 。
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图1. 阿诺德 ， 左图摄于1957 ，右图摄于2008
笔者自1982年上大学学物理 ， 在学微分方程和经典力学的时候从未碰到过阿诺德这个名字 (你看 ， 每一个学渣的炼成 ， 都是有理由的)。 大约在1990年在学习非线性动力学的时候 ， 我第一次遇到了阿诺德舌头 (Arnol’d tongue) 这个概念 (图2) ， 不管是舌头这个词还是Arnol’d的这个拼法都让我好奇 ， 从此我算是知道了科学家里有阿诺德这个人物 。
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图2. 阿诺德舌头 ， 它反映的是受迫弱耦合谐振子体系锁相的参数范围
认真关注阿诺德其人其事 ， 始自我2005年讲授《经典力学》 。 阿诺德的《经典力学的数学方法》(Mathematical methods of classical mechanics) 是国际上都会推荐的参考书 (图3) 。 一般大学课程意义上的经典力学 ， 能顺着牛顿力学-拉格朗日力学-哈密顿力学把个概念脉络说清楚 ， 那就烧高香了 。 阿诺德的深度 ， 自然不会满足于泛泛的概念介绍 。 都知道拉格朗日力学始于约束体系的研究 ， 谈约束怎可不讨论约束条件相应的几何问题 ， 你看阿诺德的书就会给你讲流形上的拉格朗日力学 。 等到进入哈密顿力学 ， 微分形式、外微分自然是必用的语言 (其实 ， 这也是热力学必用的语言！) 。 既然都来到了哈密顿力学领域 ， 盯着哈密顿正则方程焉能没有研究的冲动 ， 于是人家阿诺德顺着辛几何一路下去发展出了辛拓扑这一崭新数学物理领域 。 这次参考其著作的经历 ， 勾起了我关注阿诺德更多著作的热情 。
阿诺德一生著作丰硕 ， 有20种左右, 见文后所附的不完全目录 。 《常微分方程》和《经典力学的数学方法》是在世界范围的物理学习圈中流传较广的两本书 。 对于光学专业的同仁来说 ， Topological Invariants of Plane Curves and Caustics (平面曲线与焦线的拓扑不变量) 一书应该列为必读书 。
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图3. 阿诺德经典著作两种
阿诺德给我印象最深的不是他的那些高深数学研究成果—我看不懂 ， 自然也谈不上什么印象 ， 而是他在一般浅层次数学问题上的别出心裁 。 请允许我举两个例子 。 其一是三角形垂心都交于一点的证明 ， 这是个古老的平面几何问题 。 阿诺德竟然用雅可比恒等式来证明 。 雅可比恒等式可过渡到一个关于李括号的两层嵌套恒等式 ， 那应该就是微分几何的第二比安奇恒等式 ， 是广义相对论的一个要点 。 阿诺德用雅可比恒等式证明这个平面几何定理 ， 给我们演示了高射炮打蚊子确实比较轻松这一伟大命题 。 其二是一元五次方程没有有限根式解的证明 。 一元五次方程没有有限根式解的问题 ，经拉格朗日的思考、鲁菲尼和阿贝尔等人的工作后由伽罗华用群论系统地证明了 ， 并且由此产生了伽罗华理论 。 然而 ， 1963年阿诺德竟然想到了用拓扑学的方法加以证明 。 证明思路基于如下观察和定理 。 观察是 ， 方程系数绕一个环路回到原点可能会造成多项式方程根的置换 。 而定理是 ， 两个环路对易式定义的环路会造成根空间里的环路 。 这样问题就来了 ， 如果根的置换的对易式还是根的置换的话 ， 那代数方程解的公式就必须是嵌套根式的样子 。 若根的置换的对易式之对易式一直是根的置换 ， 那解的根式表达就必须是无限嵌套的样子 。 五次方程没有有限根式解由此得到了一个拓扑学角度的证明 ， 思路清晰 ， 比伽罗华理论好懂多了 。 此两例的详细内容 ， 请参见拙著《惊艳一击》和《云端脚下》 。
阿诺德是数理通透的大家 ， 自然也是个教育大家 。 他的“论数学教学”一文 ， 读来十分震撼 ， 可能对于数学教学和数学家培养特别有意义 ， 对物理教学和物理学家培养也有参考价值 (可以批判地借鉴嘛) 。 该文开篇第一句即是‘Mathematics is a part of physics…Mathematics is the part of physics where experiments are cheap (数学是实验不花钱的那部分物理)’ ， 诚哉斯言 。 不过 ， 这里的physics ， 按照其字面意思理解为‘关于自然的学问’可能更贴切些 。 这句话解释了为什么阿诺德是个合格的数学物理学家 。 “Jacobi注意到 ， 一个数可表示为四个平方数之和与单摆的运动是由同一个函数所支配的 。 这才体现宇宙的完美装配嘛……”, 嗯 ， 这样的学问是阿诺德的喜好 ， 也就不难理解了 。 阿诺德认为 ， “20世纪把数学和物理分成两个学科 ， 这是灾难性的……一代数学家在不知道科学那一半的情况下成长起来 ， 然后把丑陋的经院赝数学教给学生们 。 那些低能、无力理解物理的数学家让我们老想起奇怪数字的公理化理论 。 数十年来是这样的丑陋构建的数学充斥了我们的课堂, 在法国 ， 在俄罗斯, 皆如此 。 …大多数大学生 ， 甚至大多数法国的数学教授都画不出用参数方程定义的曲线(比如 x=t^3-3t ， y=t^4-2t^2)。 …… 他们既不熟悉黎曼面也不熟悉表面的拓扑分类 ， ……这还是给世界贡献了拉格朗日、拉普拉斯、柯西、庞加莱的法国吗？” 对于那些不会数学但是以为能应用一点数学就可以拿自己当数学家的人 ， 阿诺德写道：“我必须提醒大家注意巴斯德的一句名言：‘there never have been and never will be any applied sciences, there are only applications of sciences (从来没有也永远不会有什么应用科学 ， 只有科学的应用！)’” 这话有些刻薄了 ， 会得罪很多人的 。 不过对于那些身在数学界却不打算懂数学的人 ， 阿诺德就更不客气了：“Genuine mathematicians do not gang up, but the weak need gangs in order to survive. They can unite on various grounds, but the essence is always a solution of the social problem - survival in conditions of more literate surroundings (真正的数学家不需要拉帮结伙 ， 脑子不够使的才拉帮结伙以便混吃等死 。 他们能以任何理由结伙 ， 但是本质上就是解决一个社会学问题—在有点儿文化的环境中赖活着) 。 ” 哎呀 ， 实在看不下去了 ， 不能再翻译引用了 。 原来一般意义上的数学家竟然是这样的人 ， 要是阿诺德不说 ， 我们怎么会知道 。
阿诺德1957年即已步入一流数学家之列 ， 1990年当选苏联科学院院士 。
附录 阿诺德著述目录(有遗漏)
1966: Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits (无限维李群的微分几何及其在理想流体动力学中的应用), Annales de l'Institut Fourier 16: 319–361.
1978: Ordinary Differential Equations, The MIT Press.
1980: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer.
1985: (with S. M. Gusein-Zade & A. N. Varchenko) Singularities of Differentiable Maps, Volume I: The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts. Birkh user.
1988: (with S. M. Gusein-Zade & A. N. Varchenko) Singularities of Differentiable Maps, Volume II: Monodromy and Asymptotics of Integrals. Monographs in Mathematics. Birkh user.
1988: Geometrical Methods in The Theory of Ordinary Differential Equations, Springer.
1989: (with A. Avez) Ergodic Problems of Classical Mechanics, Addison-Wesley.
1990: Huygens and Barrow, Newton and Hooke: Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals, Eric J.F. Primrose translator, Birkh user.
1991：The Theory of Singularities and Its Applications. Cambridge University Press.
1995: Topological Invariants of Plane Curves and Caustics, American Mathematical Society (1994).
1999: (with Valentin Afraimovich) Bifurcation Theory and Catastrophe Theory Springer ISBN 3-540-65379-1
2004: Teoriya Katastrof (Catastrophe Theory, in Russian), 4th ed. Moscow, Editorial-URSS (2004).
2001: Tsepniye Drobi (Continued Fractions, in Russian), Moscow (2001).
2004: Arnold's Problems (2nd ed.). Springer.
2007：Yesterday and Long Ago, Springer.
2014: Mathematical Understanding of Nature: Essays on Amazing Physical Phenomena and Their Understanding by Mathematicians. American Mathematical Society.
2015: Experimental Mathematics. American Mathematical Society (translated from Russian, 2015).
2015: Lectures and Problems: A Gift to Young Mathematicians, American Math Society.
【数学|于寻常处证神，数学家阿诺德其人其事】参考文献
1. V. I. Arnold, Yesterday and Long Ago, Springer (2007).
2. Boris A. Khesin, Serge L. Tabachnikov, Arnold: Swimming against the tide, American Mathematical Society (2014).
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