东大街知事|而现在才发现百度、高德、谷歌地图都是“错误”的，天天用地图
最近看到一些有趣的数学资料 ， 突然很感兴趣 ， 然后把之前学的矩阵、积分温习了一下 ， 为了验证学习成果 ， 于是找出著名的墨卡托投影公式 ， 看是否自己能看懂？
随着深入的了解与学习 ， 发现市面上的主流地图都基本用墨卡托投影来绘制地图 ， 而墨卡托投影的地图有个比较有争议的诟病 ， 就是越往两极（南极、北极） ， 地图的比例越失真 ， 请看如下图：
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深南色才是实际面积
大家看到上图的俄罗斯的面积没有 ， 绘制的面积（浅蓝色）比实际的面积（深南色）大很多 ， 比例严重失真了 。 或者再看看下面的动图 ， 更形象：
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真实比例动图
大家此时会问 ， 这么严重的‘’错误“ ， 难道百度、腾讯、高德、谷歌这些千万亿级的“独家兽”不懂吗？答案是否的 ， 因为墨卡托投影的地图有个好处 ， 就是“保角” ， 对于航海的导航是非常友好的 。
我们对墨卡托投影作如下一个分析：
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球形地图
我们现在假设地球是圆形的球体（实际是椭球体） ， 半径R=1 ， D点的维度是θ ， 那D点所在的圆形的半径就是1*cosθ=cosθ ， 所以D点所在维度的圆形的周长是2πcosθ ， 但投影时要拉伸到2π（赤道的周长） ， 因为最终的投影时长方形、正方形 。 但问题来了 ， D点的投影横向拉伸了1/cosθ倍 ， 那纵向的投影应该也要拉伸1/cosθ倍 。
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保角
这是大家可能会说 ， 直接把D点维度乘以1/cosθ就可以了 。 但是这是与赤道的点保角 ， 而我们的重点应该是任意两点的“保角” 。
想象一下纬度很小的一块土地 。 当它在地图上显示时 ， 它会水平拉伸secθ 。 因此 ， 为了保持一致性 ， 还必须将其垂直拉伸secθ 。
但这仅在一块土地没有面积的情况下才有效 。 但是由于所有土地 ， 无论多么小 ， 都有一定的面积?? ， 这片土地的纬度不是θ ， 而是从θ到θ+Δθ很小的Δθ 。 同样 ， 这块土地在地图上所占??据的空间不仅仅是y ， 而是从y+Δy很小的地方开始Δy 。 所以公式推导如下：
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公式推导
而另外还有一个推导 ， 这个推导也被广泛使用 。 因为发明墨卡托投影时 ， 并没有积分、对数等工具 。 而1614年 ， 约翰·纳皮尔（JohnNapier）发明了对数 ， 很快发现它们在计算中非常有用 。 如此有用 ， 不仅发布了对数表 ， 而且还发布了三角函数的对数表 ， 其中包括1620年的切线对数表 。
在1640年代 ， 一个名叫亨利·邦德（HenryBond）的男人正巧同时看两张表格：赖特（Wright）的表格和正切对数表 。 他注意到一个巧合：似乎与相同 。 他在1645年将其作为猜想而发表：
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如今 ， 要验证这一点 ， 您要做的就是注意它们在θ=0：
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【东大街知事|而现在才发现百度、高德、谷歌地图都是“错误”的，天天用地图】公式推导
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