江苏龙网

  1. 首页 > 人文 > >

数学|希腊数学的局限性

尽管有了不起的成就 ， 希腊数学是有缺点的 。 从它的局限性可以看出尚待开辟的前进道路 。
第一个局限性是他们不能掌握无理数概念 。 这不仅限制了算术和代数 ， 而且使他们转向而且强调几何 ， 因为几何思想可以免于明确碰到无理数是否为数这个问题 。 如果希腊人能正视无理数 ， 他们也许能使算术和代数推进一步；并且即使他们自己没有这样做 ， 他们也不致阻碍后代在算术和代数方面取得进展 ， 因后代人受了他们的影响 ， 总觉得在处理那些可能取无理值的量时 ， 只有几何才有可靠的基础 。 阿基米德、赫伦和托勒玫曾开始把无理数当作数来处理 ， 但未能改变希腊数学的进程或希腊思想对后代的影响 。 希腊人专注于几何迷糊了后世好几代人的视界 ， 看不出几何与算术在概念上与运算上的相应之处 。 由于他们未能把无理数定义、接受并且在思想上搞通它是数 ， 他们就硬把数和量区别开来 ， 结果就把代数和几何看成是不相干的学科 。
如果希腊人不那么关心逻辑和严密性 ， 他们也许会像巴比伦人或后继文明中的人那样无意中承认并运用无理数 。 但这种认识在直观上没有明确基础 ， 而处理一个逻辑结构又非他们力所能及 。 希腊人坚持要有准确的概念和证明这个美德 ， 从数学的创造发明来说却是个缺点 。
把结构严密的数学(除数论之外)限于几何一事又产生另一不利之处 。 随着数学范围的扩大 ， 用几何方法就使证明越来越复杂 ， 特别是在立体几何方面 。 而且即使在比较简单的证明里也缺乏一般性的方法 ， 而这在我们有了解析几何与微积分后是很清楚的事 。 我们只要看看阿基米德求抛物线弓形面积或求他的螺线弧所含面积时搞得多么艰难 ， 并把它同现代用微积分的做法比较一下 ， 就可以体会到微积分的功效 。
希腊人不仅把数学主要限制于几何；他们甚至把几何只限于那些能用直线和圆作出的图形 。 于是曲面只许是那些从直线和圆绕一轴产生的 ， 例如由一矩形、三角形和圆绕一直线旋转而生成的圆柱、圆锥和球 。 也有少数例外：平面类似于直线；棱柱是一种特殊圆柱；棱锥是剖开棱柱而得出的 。 圆锥曲线是用平面截锥面而得出的 。 此外像希比亚斯的割圆曲线 ， 尼科梅德斯的蚌线和狄奥克莱斯的蔓叶线则在几何的边缘；它们叫机械曲线而不算几何曲线 。
【数学|希腊数学的局限性】帕普斯对曲线的分类说明希腊人要把曲线限制在一定范围内 。 据帕普斯说希腊人是这样区分曲线的：平面曲线是从直线和圆作出的那些曲线；圆锥曲线被他们称为立体曲线 ， 因它们是从圆锥产生的；割圆线、蚌线、蔓叶线和螺线这些曲线形成第三类 。 同样 ， 他们把问题分为平面的、立体的和曲线的三类 。 平面问题是能用直线和圆解决的问题；立体问题是能用一个或多个圆锥曲线解决的问题 。 不能用直线、圆或圆锥曲线解决的问题叫曲线问题 ， 因为它们要用到更复杂而不那么自然的曲线 。 帕普斯强调用平面或立体轨迹解问题的重要性 ， 因在那种情形下就可给出存在实解的准则 。
为什么希腊人要把他们的几何限于直线和圆以及那些易于从两者得出的曲线呢?一个理由是这样可以解决证明一个几何图形的存在问题 。 我们知道 ， 希腊人特别是亚里士多德曾指出必须保证所引用的概念不自相矛盾 ， 就是说必须证明它们存在 。 为解决这问题 ， 希腊人至少从原则上只承认那些可以作图的概念是存在的 。 直线和圆是在公设里承认它们是可作的 ， 但其他图形则必须从圆和直线来作出 。
不过用作图来证明存在的做法并未推行到三维图形上 。 这里希腊人只是承认了直观上看来清楚的事实 ， 例如球、圆柱和圆锥等旋转形体的存在 。 用平面截割这些图形产生圆锥曲线这种曲线 ， 因此甚至尚未证明其存在的平面图形也获得承认 ——不过颇为勉强 。 这一点笛卡儿在其《几何》(La Geometrie) 第二篇的开头处曾指出：“诚然 ， 圆锥曲线在古代几何里从没有正式获得承认….'’
之所以限于直线、圆以及那些能从两者得出的图形 ， 其第二个原因来自柏拉图 ， 他认为观念要清楚才能加以接受 。 希腊人虽未明确定义整数但觉得整数观念本身可以当作一个清楚的概念来接受 ， 而几何图形则应该搞得明确些 。 直线、圆以及由它们得出的图形是清楚的 ， 而用机械工具(除直尺和圆规以外)作出的图形则不然 ， 所以是不容许的 。 把图形只限于那种清楚的 ， 这就产生出简单、次序井然、和谐与美妙的几何学 。
由于坚持要把他们的几何学搞得统一、完整和简单 ， 由于把抽象思维同实用分开 ， 所以古典希腊几何成为一门成就有限的学科 。 它狭隘了人们的视界 ， 使他们的头脑接受不到新思想和新方法 。 它的内部存在着使它自己死亡的种子 。 如果没有亚历山大文化开阔了希腊数学家的眼界 ， 那么它那狭隘的活动领域、局促的观点、在美学上的限制 ， 很可能使它的发展受到遏制 。
希腊人的哲学思想又从另一方面限制了希腊数学的发展 。 在整个古典时期 ， 他们相信数学事实不是人创造的 ， 而是先于人而存在的 。 人只要肯定这些事实并记录下来就行了 。 柏拉图在其《特埃特图斯篇》(Theaetetus) 一书中把探索知识比作在一个鸟族馆里捕鸟 。 那些鸟是已经被人网起来的 ， 人只要进去抓就是了 。 但对数学性质的这种信念并没有为人们所赞同 。
希腊人未能领悟无穷大、无穷小和无穷步骤 。 他们“对无穷的空间望而生畏” 。 毕达哥拉斯派把善与恶同有限与无限联系起来 。 亚里士多德说无穷是不完美的、未完成的 ， 因而是不可思议的；它是不成形的、混乱的 。 只有那些限定而分明的东西才有其本性可言 。
为避免提出直线可无穷延伸 ， 欧几里得说一线段(他书中的“直线”就是指线段)可按需要加以延伸 。 从欧几里得对平行公理的叙述也可看出他不愿涉及无穷大 。 他并不谈伸向无穷远的两根直线也不直接给出两平行直线存在的条件 ， 而只是在他的平行公理中提出两直线相交于某有限点处的条件 。
在点与直线的关系以及离散与连续的关系里要涉及无穷小概念 ， 而芝诺的悖论很可能使希腊人不敢触及这一概念 。 点和线的概念曾使希腊人伤脑筋并使亚里士多德硬把它们分开来 。 他虽承认点是在线上的 ， 但说线不是由点生成的 ， 并说连续不能由离散生成(第3章第 10节) 。 这一区别又使他们感到有必要把数同几何分开 ， 因为希腊人认为数是离散的 ， 而几何则处理连续的量 。
由于他们怕无穷步骤 ， 所以他们也与极限步骤失之交臂 。 他们用一正多边形来接近圆时满足于使其相差小于任一给定的量 ， 但总留下一些量 。 因此这一步骤在直观上仍很清楚 ， 而极限步骤则要用无穷小 。
数学|希腊数学的局限性
本文图片


    推荐阅读


    上一篇：中国收购乌克兰军工厂遇三大障碍？美国恶意阻止 俄坐收渔利

    下一篇：引火上身，美军和库尔德重新联手：F-22隐身战机夜袭叙叛军