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怎样理解数学思维课的学习在数学学习中的必要性？

作者|娄文来源|欧拉数学荟
荟思
自从开设数学思维课以来 ， 不断有家长来咨询跟这个课程相关的各种问题 。 为帮助大家更好地了解数学思维课是怎样一个课程 ， 同时也澄清一些误解 ， 我们计划通过一系列文章来进行解释和说明 。
本文是第一篇关于数学思维课的问答 ， 目的是说明数学思维课的设计初衷以及对课程的基本认识 。
怎样理解数学思维课的学习在数学学习中的必要性？
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图片来源：www.matheecs.com
在课程的总体设计思路上 ， 数学思维课是校外课程 ， 并且以校内的数学课程内容为基础 。 数学思维课的学习内容是围绕数学思维的构建 ， 循序渐进地提升孩子的数学思维能力 ， 而不是复习巩固校内的数学课程内容 。
既然是校外课程 ， 就得说清楚课程学习的必要性问题 。 从一个角度说 ， 凡是学校没有统一要求的都不是必要的学习内容 。 但如果换另一个角度想想 ， 就会发现不能以这么绝对的方式下结论 。
数学本身是一个很大的学科体系 ， 其包含的内容庞杂且相互之间的关系也错综复杂 。 学校的教学大纲是人为地从这个很大的体系内容中切割出一（小）部分编排出来的 。 固然 ， 教学大纲的编纂是很严肃的事情 ， 也必定做了很多审慎的思考和权衡 。 但这个问题毕竟太复杂 ， 有太多因素的牵绊 ， 实在很难找到理想的解决方案 。
比如 ， 既然是学校统一的学习内容 ， 就要考虑学生的接受能力 。 教学大纲内的内容的学习难度必须控制在大多数孩子在既定学习强度（包括学习时间和努力程度）下能学懂的程度 。 于是编纂教学大纲就得像给一棵树修剪枝叶一样 ， 根据学习难度来决定要剪掉哪些枝叶 。
事实上 ， 很多科目的体系架构都比较接近树的特点 ， 所以编纂教学大纲就没这么多纠结 。 但数学却偏偏是个很特殊的科目 。
数学经历了几千年的发展 ， 每向前一步都是在不断夯实原有知识内容的基础上 ， 再形成新的突破 。 因此 ， 数学的知识结构是一层叠一层 ， 一层压一层的 。 每一层都有一些内容是有一定难度同时又是更高的层次内容的重要基础 。 这些内容如果最终在教学大纲中被保留下来 ， 往往就形成我们通常说的“学习难点” 。
如果选择不保留呢？如何解决这个被掏空的“洞”对结构造成的破坏？说实在话 ， 并没有特别有效的好办法 ， 还得祭出老祖宗的绝招——打补丁 。 具体而言 ， 就是在学习更上层的相关内容时不做清晰的解释 ， 而是直接给出结论让大家死记硬背 。
这种补救方法虽然能勉强把学习进程推进下去 ， 但并不能达到弥补被挖掉的“洞”的效果 。 原本自然的认知联系被强行打断 ， 相关的概念和知识点变成了“孤岛” ， 难以理解透彻 ， 也就无法运用自如 ， 而只能生搬硬套 。
一方面 ， 在教学大纲中这样被人为挖出来的“洞”还真不少 。 而洞越多 ， 被它们打断的关联性就越多 。 因此 ， 我们根据教学大纲学到的数学实际上是一个补丁叠补丁的体系 ， 而且还松松垮垮 ， 摇摇欲坠 。
当然 ， 少数聪明的孩子有较强的主动探索精神 ， 在学习过程中会试图把学习内容理解透彻 。 因此 ， 他们能够自己发现并（可能在老师的帮助下）补上这些洞 ， 以及打通知识点之间的联系 ， 从而构建出他们自己可以在其中游走自如的稳固的认知体系 。 在解决数学问题时 ， 他们能够快速地在这个体系中找到适用的知识点 ， 并且寻找的过程是明确而有策略的 ， 而不是盲目碰运气 。
可惜 ， 同时具备主动探索精神和独立分析能力的孩子太少 。 大多数孩子都缺乏思考的热情 ， 而更希望被老师牵着走 ， 他们只愿意“走”而不想思考“应该怎样走” 。 即使是有思考和探究意愿的孩子 ， 凭自己的能力也往往只能走出几步 ， 获得一些初步而含糊的理解 。 而因为在教学大纲的范围之外 ， 老师既不会在课堂上花时间讲解 ， 课后提供的指导也很有限——毕竟大纲内的学习内容已经够老师操心的了 。
另一方面 ， 其他学科的学习需要用到一定广度的数学知识 。 为了顺应这些需求 ， 教学大纲中必须包含足够多的“高级”内容 。 教学大纲的内容编排顺序 ， 基本上是遵循数学的历史发展进程安排的 。 中学的数学内容 ， 特别是高中的内容 ， 很多已经是数学经历了两千多年的发展成果 。 跟这些知识相关联的脉络往往很多且很长 ， 然而大多数孩子在前面的学习中只掌握了破碎的片段 ， 因而也就无法真正掌握好这些知识内容 。
如果能够看清楚小学的数学学习道路上被挖了多少个“洞” ， 就不难理解为什么中学数学会碾压这么多孩子 ， 其中包括不少在小学时是学霸 ， 甚至在中学的其他科目上仍然表现很优秀的孩子 。
在这个千疮百孔的体系中 ， 哪些位置最有可能被挖出洞来呢？答案是——包含了越丰富的数学思想和方法的知识内容 ， 越容易被剔除在大纲之外 。 要掌握好这些内容 ， 就必然牵涉到思想和方法的运用 。 在教学上 ， 这需要占用大量的教学时数 ， 而且对老师的讲解能力是很大的考验；在考核时 ， 也难以找到足够简单的考题 。
无论让谁来设计教学大纲 ， 面对这样的状况 ， 都不会有太大的选择余地——要么一刀砍下去 ， 干净利落 ， 眼不见为净；要么改头换面 ， 做大幅度的简化 ， 尽可能剔除掉跟思想和方法关系紧密的部分 。 这样的处理方法就像杀死牙神经的操作 ， 虽然免去了牙痛的苦楚 ， 却也使牙齿失去了部分功能 ， 在某种程度上也相当于“杀死”了牙齿 。
数学的概念和知识点是通过相应的思想和方法自然连通的 ， 它们共同构成了一个紧密而有活力的体系 。 数学思想和方法就像肌肉和韧带 ， 使得这个体系强健有力 。 如果我们学习的只是一堆孤立的知识点 ， 而没有把它们融会贯通 ， 是不能转化为实在的数学能力的 。 或者说 ， 只有输入没有输出 。
学了一堆“死知识” ， 却要解一些有难度的题目 ， 就像让一个手无缚鸡之力的秀才去举重 ， 那种感觉就是被题目“碾压” 。 鸭子被赶上了架 ， 也还是要扑棱一下翅膀的 。 那么“秀才”有什么招呢？只能刷题 。 老师在课堂上教什么要根据教学大纲来安排 ， 但课后的安排却是广阔天地大有可为 。 不仅常规的作业量很大 ， 还常常要刷各种习题集 。
刷题的关键就在一个“量”字 ， 否则也不会被冠以“题海战术”了 。 量大到一定程度后 ， 一方面比较有机会在考试中碰上相似度高的题目 ， 可以依葫芦画瓢地直接套用解法 ， 特别是刷那些有针对性地编写的“应试秘笈”中的题目 ， 还能进一步增加“撞上死老鼠”的运气 。 另一方面 ， 有一定领悟力的孩子能在刷题中刷出一些“感觉”来 ， 虽然他们无法解释清楚解法的合理性和可靠性 ， 但他们选择的解法确实给出了正确答案 。 这有点像（但本质并不是一回事）语言学习中通过不断重复练习来培养“语感” 。
刷题的功效在小学阶段还是比较明显的 ， 因为小学的知识点不多 ， 在常规考试的难度范围内 ， 题目的变化也比较有限 。 而到了初中乃至高中 ， 知识点的数量持续地快速增长 ， 难度要求也在逐步抬升 。 这时 ， 需要刷的题真的是“浩如烟海” ， 即使夜以继日地刷也远远达不到足够的量 。 然而再要回去补基础能力 ， 实际上也已经不可能了 。
小学阶段的学习内容大致可以分为两大块——算术和简单几何 。 其中后者所占的内容比例较小 ， 而且难度也不太大 ， 只是对简单的几何形状和几何概念的了解和基本处理 。
算术的学习对象 ， 粗略地说是对整数、分数、小数的认识以及四则运算的运用 。 算术的知识是人们在具体的生产和生活中逐步积累起来的 ， 早在两千年前就非常丰富了；远古年代的数学书 ， 大部分其实是充盈着算术思想的习题集 。
算术方法的重要性体现在几个方面 。
其一 ， 算术是代数的基础 ， 而代数是中学数学的主要学习内容之一 。 扎实的算术基础对于代数的学习有非常大的影响和作用 。
其二 ， 算术思想不仅仅是“算术的思想” ， 而是几乎所有数学分支共同的基础 。 即使是近代和现代数学中高度抽象化的数学内容 ， 其基本推理逻辑也是算术的 。 算术方法就像最基本的动作 ， 无论复杂性和技巧性多高的运动 ， 都会包含这些基本动作 。
其三 ， 算术思想体现了一个人最基本的数学素养 。 除非是为了今后专业学习和工作的需要 ， 中学的很多数学知识即使全部忘掉也没什么关系 。 但如果连算术思想都没有 ， 就跟没学过数学没什么区别了 。
如果把我们在学校学的数学知识比作一幢高楼 ， 小学阶段的部分就是其中最低的几层 。 数学思维课的学习目标是尽可能夯实这几层的结构 ， 形成较为坚固的基础 。 如果能达成这个目标 ， 即使更高的楼层摇摇欲坠甚至倒塌 ， 这还是一幢楼房 ， 只不过稍微矮了点儿 。 但如果连最低的楼层都松松垮垮 ， 经过几年的风吹雨打后 ， 整幢楼就会坍塌成一堆瓦砾 。
简而言之 ， 数学思维课的学习目标是弥补学校的教学大纲中天然存在且难以解决的缺陷 。 这些缺陷对整体的数学学习过程造成结构性的破坏 ， 只有极少数孩子有能力自行修复 。 但如果有一套校外的课程 ， 能够有针对性地补上被教学大纲挖出来的一些位置重要的洞 ， 就可以引导相当一部分孩子修复好破损的结构 ， 从而打好足够坚实的底层数学基础 。
最后需要特别强调一点 ， 教学大纲所圈定的学习内容仍然是最最基本和必要的学习内容 。 数学思维课的学习内容只是有意识地补上被教学大纲割舍的跟数学思想和数学方法相关性较大的部分内容 。 这也是课程被命名为“数学思维”的原因 。 数学思维课并不是对校内学习内容的复习巩固 ， 如果孩子对学校的数学学习内容达不到足够好的掌握程度 ， 我们不能期望通过数学思维课的学习达到“补习”目的；反之 ， 在学好校内数学课的基础上增加数学思维课的内容 ， 两者将互相促进 ， 相得益彰 。
【怎样理解数学思维课的学习在数学学习中的必要性？】怎样理解数学思维课的学习在数学学习中的必要性？
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